प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ़ कैसे बनाएं?
सूत्र y = 3x देते हुए एक प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ़ बनाएं
समाधान ।
फ़ंक्शन y = 3x को संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित किया गया है। सेमी। ।
हम x का कोई भी मान लेते हैं, मान लीजिए कि यह 1 है, और सूत्र y = 3x में 1 के बराबर x प्रतिस्थापित करके y ज्ञात करते हैं।
Y=3x=
3 * 1 = 3
यानी, x = 1 के लिए हमें y = 3 मिलता है। इन निर्देशांक वाला बिंदु फ़ंक्शन y = 3x के ग्राफ़ से संबंधित है।
हम जानते हैं कि प्रत्यक्ष आनुपातिकता का ग्राफ एक सीधी रेखा है, और एक सीधी रेखा दो बिंदुओं से परिभाषित होती है।
हमने अभी उनमें से एक पाया है, और प्रत्यक्ष आनुपातिकता के लिए दूसरा हमेशा मूल होता है।
अब हम फ़ंक्शन y = 3x का ग्राफ़ बनाने के लिए तैयार हैं।
हम निर्देशांक तल पर निर्देशांक (1; 3) के साथ एक बिंदु चिह्नित करते हैं।
इस बिंदु और मूल बिंदु से होकर एक सीधी रेखा खींचें
हमने सूत्र y = 3x द्वारा दिए गए प्रत्यक्ष आनुपातिकता का एक ग्राफ प्राप्त किया है।
ग्राफ़ से x = 2 के अनुरूप y का मान ज्ञात कीजिए।
x-अक्ष पर बिंदु 2 खोजें।
इसके माध्यम से एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचें जब तक कि यह ग्राफ़ के साथ प्रतिच्छेद न कर दे।
हम खिलाड़ियों की धुरी पर एक क्षैतिज रेखा खींचते हैं। y-अक्ष पर हम बिंदु 6 पर जाते हैं।
6, x = 2 के मान के अनुरूप yk का मान है।
आइए सूत्र द्वारा दिए गए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं y = 0.5x.
1. इस फ़ंक्शन का डोमेन सभी संख्याओं का समुच्चय है।
2. आइए चरों के कुछ संगत मान ज्ञात करें एक्सऔर पर.
यदि x = -4, तो y = -2.
यदि x = -3, तो y = -1.5.
यदि x = -2, तो y = -1.
यदि x = -1, तो y = -0.5.
यदि x = 0, तो y = 0.
यदि x = 1, तो y = 0.5.
यदि x = 2, तो y = 1.
यदि x = 3, तो y = 1.5.
यदि x = 4, तो y = 2.
3. आइए निर्देशांक तल में उन बिंदुओं को चिह्नित करें जिनके निर्देशांक हमने चरण 2 में निर्धारित किए हैं। ध्यान दें कि निर्मित बिंदु एक निश्चित रेखा से संबंधित हैं।
4. आइए निर्धारित करें कि फ़ंक्शन ग्राफ़ पर अन्य बिंदु इस रेखा से संबंधित हैं या नहीं। ऐसा करने के लिए, हम ग्राफ़ पर कई और बिंदुओं के निर्देशांक ढूंढेंगे।
यदि x = -3.5, तो y = -1.75.
यदि x = -2.5, तो y = -1.25.
यदि x = -1.5, तो y = -0.75.
यदि x = -0.5, तो y = -0.25.
यदि x = 0.5, तो y = 0.25.
यदि x = 1.5, तो y = 0.75.
यदि x = 2.5, तो y = 1.25.
यदि x = 3.5, तो y = 1.75.
फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर नए बिंदु बनाने के बाद, हम देखते हैं कि वे एक ही पंक्ति से संबंधित हैं।
यदि हम अपने मूल्यों के चरण को कम करते हैं (उदाहरण के लिए, मूल्यों को लें)। एक्सके माध्यम से 0,1; के माध्यम से 0,01 आदि), हम एक ही रेखा से संबंधित अन्य ग्राफ बिंदु प्राप्त करेंगे और ड्रैग से एक दूसरे के करीब स्थित होंगे। किसी दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर सभी बिंदुओं का सेट मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
इस प्रकार, फ़ंक्शन का ग्राफ़ सूत्र द्वारा दिया गया है y = khx, जहां k ≠ 0,मूल बिन्दु से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
यदि फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र सूत्र द्वारा दिया गया है y = khx, जहां k ≠ 0,इसमें सभी संख्याएँ शामिल नहीं हैं, तो इसका ग्राफ़ एक रेखा पर बिंदुओं का एक उपसमूह है (उदाहरण के लिए, एक किरण, एक खंड, व्यक्तिगत बिंदु)।
एक सीधी रेखा बनाने के लिए उसके दो बिंदुओं की स्थिति जानना पर्याप्त है। इसलिए, सभी संख्याओं के सेट पर परिभाषित प्रत्यक्ष आनुपातिकता का एक ग्राफ इसके किन्हीं दो बिंदुओं का उपयोग करके बनाया जा सकता है (निर्देशांक की उत्पत्ति को उनमें से एक के रूप में लेना सुविधाजनक है)।
उदाहरण के लिए, आप सूत्र द्वारा दिए गए फ़ंक्शन को प्लॉट करना चाहते हैं y = -1.5x. आइए कुछ मूल्य चुनें एक्स, सम नही 0 , और संबंधित मान की गणना करें पर.
यदि x = 2, तो y = -3.
आइए हम निर्देशांक तल पर निर्देशांक के साथ एक बिंदु चिह्नित करें (2; -3) . आइए इस बिंदु और मूल बिंदु से होकर एक सीधी रेखा खींचें। यह सीधी रेखा वांछित ग्राफ़ है।
इस उदाहरण के आधार पर यह सिद्ध किया जा सकता है निर्देशांक के मूल से होकर गुजरने वाली और अक्षों से मेल न खाने वाली कोई भी सीधी रेखा प्रत्यक्ष आनुपातिकता का ग्राफ है।
सबूत.
मान लीजिए कि एक निश्चित सीधी रेखा दी गई है, जो निर्देशांक के मूल से होकर गुजरती है और अक्षों से मेल नहीं खाती है। आइए इस पर भुज 1 के साथ एक बिंदु लें। आइए इस बिंदु की कोटि को k से निरूपित करें। जाहिर है, k ≠ 0. आइए हम सिद्ध करें कि यह रेखा गुणांक k के साथ प्रत्यक्ष आनुपातिकता का एक ग्राफ है।
दरअसल, सूत्र y = kh से यह पता चलता है कि यदि x = 0, तो y = 0, यदि x = 1, तो y = k, यानी। सूत्र y = kх द्वारा दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ, जहां k ≠ 0, बिंदुओं (0; 0) और (1; k) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
क्योंकि दो बिंदुओं से होकर केवल एक सीधी रेखा खींची जा सकती है, तो यह सीधी रेखा सूत्र द्वारा दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ से मेल खाती है y = khx, जहां k ≠ 0, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।
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ग्रेड 7 और 8 में प्रत्यक्ष आनुपातिकता के ग्राफ का अध्ययन किया जाता है।
प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ़ कैसे बनाएं?
आइए उदाहरणों का उपयोग करके प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ़ देखें।
प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ़ सूत्र
एक प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ़ एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है।
सामान्य तौर पर, प्रत्यक्ष आनुपातिकता का सूत्र होता है
एक्स-अक्ष के सापेक्ष प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ का झुकाव कोण प्रत्यक्ष आनुपातिकता के गुणांक के परिमाण और चिह्न पर निर्भर करता है।
प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ से होकर गुजरता है
एक प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ मूल बिंदु से होकर गुजरता है।
प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ़ एक सीधी रेखा है। एक सीधी रेखा दो बिंदुओं से परिभाषित होती है।
इस प्रकार, प्रत्यक्ष आनुपातिकता का ग्राफ बनाते समय, यह दो बिंदुओं की स्थिति निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है।
लेकिन हम हमेशा उनमें से एक को जानते हैं - यह निर्देशांक की उत्पत्ति है।
जो कुछ बचा है वह दूसरा ढूंढना है। आइए प्रत्यक्ष आनुपातिकता का ग्राफ बनाने का एक उदाहरण देखें।
ग्राफ प्रत्यक्ष आनुपातिकता y = 2x
काम ।
सूत्र द्वारा दी गई प्रत्यक्ष आनुपातिकता का एक ग्राफ बनाएं
समाधान ।
सारे नंबर मौजूद हैं.
प्रत्यक्ष आनुपातिकता के क्षेत्र से कोई भी संख्या लें, इसे 1 होने दें।
जब x 1 के बराबर हो तो फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें
Y=2x=
2 * 1 = 2
यानी, x = 1 के लिए हमें y = 2 मिलता है। इन निर्देशांक वाला बिंदु फ़ंक्शन y = 2x के ग्राफ़ से संबंधित है।
हम जानते हैं कि प्रत्यक्ष आनुपातिकता का ग्राफ एक सीधी रेखा है, और एक सीधी रेखा दो बिंदुओं से परिभाषित होती है।
प्रत्यक्ष आनुपातिकता की परिभाषा
आरंभ करने के लिए, आइए निम्नलिखित परिभाषा को याद करें:
परिभाषा
दो मात्राएँ सीधे आनुपातिक कहलाती हैं यदि उनका अनुपात एक विशिष्ट गैर-शून्य संख्या के बराबर है, अर्थात:
\[\frac(y)(x)=k\]
यहाँ से हम देखते हैं कि $y=kx$।
परिभाषा
$y=kx$ के रूप के एक फ़ंक्शन को प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहा जाता है।
प्रत्यक्ष आनुपातिकता $b=0$ के लिए रैखिक फ़ंक्शन $y=kx+b$ का एक विशेष मामला है। संख्या $k$ को आनुपातिकता गुणांक कहा जाता है।
प्रत्यक्ष आनुपातिकता का एक उदाहरण न्यूटन का दूसरा नियम है: किसी पिंड का त्वरण उस पर लगाए गए बल के सीधे आनुपातिक होता है:
यहाँ द्रव्यमान आनुपातिकता का गुणांक है।
प्रत्यक्ष आनुपातिकता के फलन $f(x)=kx$ और उसके ग्राफ का अध्ययन
सबसे पहले, फ़ंक्शन $f\left(x\right)=kx$ पर विचार करें, जहां $k > 0$।
- $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k>0$. नतीजतन, यह फ़ंक्शन परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में बढ़ता है। कोई चरम बिंदु नहीं हैं.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
- ग्राफ़ (चित्र 1)।
चावल। 1. $k>0$ के लिए फ़ंक्शन $y=kx$ का ग्राफ़
अब फ़ंक्शन $f\left(x\right)=kx$ पर विचार करें, जहां $k
- परिभाषा का क्षेत्र सभी संख्याएँ हैं।
- मानों की श्रेणी सभी संख्याएँ हैं।
- $f\left(-x\right)=-kx=-f(x)$. प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन विषम है।
- फ़ंक्शन मूल से होकर गुजरता है।
- $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
- $f^("")\left(x\right)=k"=0$. इसलिए, फ़ंक्शन में कोई विभक्ति बिंदु नहीं है।
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
- ग्राफ़ (चित्र 2)।
चावल। 2. फ़ंक्शन का ग्राफ़ $y=kx$, $k पर
महत्वपूर्ण: फ़ंक्शन $y=kx$ का ग्राफ बनाने के लिए, मूल बिंदु से भिन्न एक बिंदु $\left(x_0,\ y_0\right)$ ढूंढना और इस बिंदु और मूल बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना पर्याप्त है।
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