Sukurkite tiesioginio proporcingumo grafiką naudodami pateiktą formulę. Tiesioginis proporcingumas ir jo grafikas. Tiesioginio proporcingumo $f(x)=kx$ funkcijos ir jos grafiko tyrimas

Kaip sudaryti tiesioginio proporcingumo grafikus?

Nubraižykite tiesioginio proporcingumo grafiką, kurio formulė y = 3x

Sprendimas.

Funkcija y = 3x yra apibrėžta visoje skaičių eilutėje. Cm. .

Imame bet kokią x reikšmę, tegul ji yra 1, ir randame y, formulėje y = 3x pakeisdami x lygų 1

Y = 3x =
3 * 1 = 3

y., kai x = 1 gauname y = 3. Taškas su šiomis koordinatėmis priklauso funkcijos y = 3x grafikui.

Žinome, kad tiesioginio proporcingumo grafikas yra tiesė, o tiesią nusako du taškai.

Mes ką tik radome vieną iš jų, o antrasis dėl tiesioginio proporcingumo visada yra kilmė.

Dabar esame pasirengę pavaizduoti funkcijos y = 3x grafiką.

Tašką koordinačių plokštumoje pažymime koordinatėmis (1; 3).

Nubrėžkite tiesią liniją per šį tašką ir koordinačių pradžią

Gavome tiesioginio proporcingumo grafiką, pateiktą pagal formulę y = 3x.

Iš grafiko raskite y reikšmę, atitinkančią reikšmę x = 2.

Raskite 2 tašką x ašyje.

Per ją nubrėžkite vertikalią liniją, kol ji susikirs su grafiku.

Nubrėžiame horizontalią liniją iki žaidėjų ašies. Y ašyje einame į 6 tašką.

6 yra yk reikšmė, atitinkanti reikšmę x = 2.

Sukurkime funkcijos, pateiktos formule, grafiką y = 0,5x.

1. Šios funkcijos sritis yra visų skaičių rinkinys.

2. Raskime kai kurias atitinkamas kintamųjų reikšmes X Ir adresu.

Jei x = -4, tai y = -2.
Jei x = -3, tai y = -1,5.
Jei x = -2, tai y = -1.
Jei x = -1, tai y = -0,5.
Jei x = 0, tai y = 0.
Jei x = 1, tai y = 0,5.
Jei x = 2, tai y = 1.
Jei x = 3, tai y = 1,5.
Jei x = 4, tai y = 2.

3. Koordinačių plokštumoje pažymėkime taškus, kurių koordinates nustatėme 2 žingsnyje. Atkreipkite dėmesį, kad sudaryti taškai priklauso tam tikrai tiesei.

4. Nustatykime, ar šiai linijai priklauso kiti funkcijos grafiko taškai. Norėdami tai padaryti, grafike rasime dar kelių taškų koordinates.

Jei x = -3,5, tai y = -1,75.
Jei x = -2,5, tai y = -1,25.
Jei x = -1,5, tai y = -0,75.
Jei x = -0,5, tai y = -0,25.
Jei x = 0,5, tai y = 0,25.
Jei x = 1,5, tai y = 0,75.
Jei x = 2,5, tai y = 1,25.
Jei x = 3,5, tai y = 1,75.

Funkcijos grafike sukonstravę naujus taškus, pastebime, kad jie priklauso tai pačiai tiesei.

Jei sumažinsime savo vertybių žingsnį (paimkite, pavyzdžiui, vertybes X per 0,1; per 0,01 ir tt), gausime kitus grafo taškus, priklausančius tai pačiai linijai ir esančius vis arčiau vienas kito. Visų duotosios funkcijos grafiko taškų aibė yra tiesė, einanti per pradžią.

Taigi formule pateiktos funkcijos grafikas y = khx, kur k ≠ 0, yra tiesi linija, einanti per pradžią.

Jei funkcijos apibrėžimo sritis, pateikta formule y = khx, kur k ≠ 0, susideda ne iš visų skaičių, tada jo grafikas yra linijos taškų poaibis (pavyzdžiui, spindulys, atkarpa, atskiri taškai).

Norint sukurti tiesią liniją, pakanka žinoti dviejų jos taškų padėtį. Todėl tiesioginio proporcingumo grafiką, apibrėžtą visų skaičių aibėje, galima sudaryti naudojant bet kuriuos du jo taškus (vienu iš jų patogu paimti koordinačių pradžią).

Tarkime, kad norite nubraižyti funkciją, pateiktą pagal formulę y = -1,5x. Pasirinkime kokią nors vertę X, nėra lygus 0 ir apskaičiuokite atitinkamą reikšmę adresu.

Jei x = 2, tai y = -3.

Pažymėkime tašką koordinačių plokštumoje koordinatėmis (2; -3) . Nubrėžkime tiesią liniją per šį tašką ir pradinę vietą. Ši tiesi linija yra norimas grafikas.

Remiantis šiuo pavyzdžiu, galima tai įrodyti Bet kuri tiesi linija, einanti per koordinačių pradžią ir nesutampanti su ašimis, yra tiesioginio proporcingumo grafikas.

Įrodymas.

Tegu nurodyta tam tikra tiesė, einanti per koordinačių pradžią ir nesutampanti su ašimis. Paimkime ant jo tašką su abscise 1. Šio taško ordinates pažymėkime k. Akivaizdu, kad k ≠ 0. Įrodykime, kad ši tiesė yra tiesioginio proporcingumo grafikas su koeficientu k.

Iš tiesų, iš formulės y = kh išplaukia, kad jei x = 0, tai y = 0, jei x = 1, tai y = k, t.y. funkcijos, pateiktos formule y = kх, grafikas, kur k ≠ 0, yra tiesė, einanti per taškus (0; 0) ir (1; k).

Nes per du taškus galima nubrėžti tik vieną tiesę, tada ši tiesė sutampa su funkcijos grafiku, pateiktu formule y = khx, kur k ≠ 0, ką ir reikėjo įrodyti.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

7 ir 8 klasėse tiriamas tiesioginio proporcingumo grafikas.

Kaip sudaryti tiesioginio proporcingumo grafiką?

Pažvelkime į tiesioginio proporcingumo grafiką naudodami pavyzdžius.

Tiesioginio proporcingumo grafiko formulė

Tiesioginio proporcingumo grafikas vaizduoja funkciją.

Apskritai tiesioginis proporcingumas turi formulę

Tiesioginio proporcingumo grafiko polinkio kampas x ašies atžvilgiu priklauso nuo tiesioginio proporcingumo koeficiento dydžio ir ženklo.

Pereina tiesioginio proporcingumo grafikas

Tiesioginio proporcingumo grafikas eina per kilmę.

Tiesioginio proporcingumo grafikas yra tiesi linija. Tiesi linija apibrėžiama dviem taškais.

Taigi, konstruojant tiesioginio proporcingumo grafiką, pakanka nustatyti dviejų taškų padėtį.

Bet mes visada žinome vieną iš jų – tai yra koordinačių kilmė.

Belieka surasti antrąjį. Pažvelkime į tiesioginio proporcingumo grafiko sudarymo pavyzdį.

Grafikas tiesioginis proporcingumas y = 2x

Užduotis.

Nubraižykite tiesioginio proporcingumo grafiką, pateiktą pagal formulę

Sprendimas.

Ten visi skaičiai.

Paimkite bet kurį skaičių iš tiesioginio proporcingumo srities, tegul jis yra 1.

Raskite funkcijos reikšmę, kai x yra lygus 1

Y=2x=
2 * 1 = 2

y., kai x = 1 gauname y = 2. Taškas su šiomis koordinatėmis priklauso funkcijos y = 2x grafikui.

Žinome, kad tiesioginio proporcingumo grafikas yra tiesė, o tiesią nusako du taškai.

Tiesioginio proporcingumo apibrėžimas

Pirmiausia prisiminkite šį apibrėžimą:

Apibrėžimas

Du dydžiai vadinami tiesiogiai proporcingais, jei jų santykis yra lygus konkrečiam skaičiui, kuris nėra nulis, tai yra:

\[\frac(y)(x)=k\]

Iš čia matome, kad $y=kx$.

Apibrėžimas

Formos $y=kx$ funkcija vadinama tiesiogine proporcingumu.

Tiesioginis proporcingumas yra ypatingas tiesinės funkcijos $y=kx+b$ atvejis, kai $b=0$. Skaičius $k$ vadinamas proporcingumo koeficientu.

Tiesioginio proporcingumo pavyzdys yra antrasis Niutono dėsnis: Kūno pagreitis yra tiesiogiai proporcingas jį veikiančiai jėgai:

Čia masė yra proporcingumo koeficientas.

Tiesioginio proporcingumo $f(x)=kx$ funkcijos ir jos grafiko tyrimas

Pirmiausia apsvarstykite funkciją $f\left(x\right)=kx$, kur $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k>0$. Todėl ši funkcija išplečiama visoje apibrėžimo srityje. Kraštutinių taškų nėra.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafikas (1 pav.).

Ryžiai. 1. Funkcijos $y=kx$ grafikas, kai $k>0$

Dabar apsvarstykite funkciją $f\left(x\right)=kx$, kur $k

1. Apibrėžimo sritis yra visi skaičiai.
2. Vertybių diapazonas yra visi skaičiai.
3. $f\left(-x\right)=-kx=-f(x)$. Tiesioginio proporcingumo funkcija yra nelyginė.
4. Funkcija eina per kilmę.
5. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
6. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Todėl funkcija neturi vingio taškų.
7. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
8. Grafikas (2 pav.).

Ryžiai. 2. $k funkcijos $y=kx$ grafikas

Svarbu: norint nubraižyti funkcijos $y=kx$ grafiką, pakanka rasti vieną tašką $\left(x_0,\ y_0\right)$, kuris skiriasi nuo pradžios taško ir per šį tašką bei pradinę vietą nubrėžti tiesią liniją.