Izmantojot doto formulu, izveidojiet tiešās proporcionalitātes grafiku. Tiešā proporcionalitāte un tās grafiks. Tiešās proporcionalitātes funkcijas $f(x)=kx$ un tās grafika izpēte

Kā izveidot tiešās proporcionalitātes grafikus?

Uzzīmējiet tiešās proporcionalitātes grafiku ar formulu y = 3x

Risinājums.

Funkcija y = 3x ir definēta visā skaitļu rindā. Cm.

Mēs ņemam jebkuru x vērtību, pieņemsim, ka tā ir 1, un atrodam y, aizstājot x vienādu ar 1 formulā y = 3x

Y=3x=
3 * 1 = 3

tas ir, pie x = 1 iegūstam y = 3. Punkts ar šīm koordinātām pieder funkcijas y = 3x grafikam.

Mēs zinām, ka tiešās proporcionalitātes grafiks ir taisna līnija, un taisni nosaka divi punkti.

Mēs tikko atradām vienu no tiem, un otrais tiešajai proporcionalitātei vienmēr ir izcelsme.

Tagad mēs esam gatavi grafēt funkciju y = 3x.

Punktu koordinātu plaknē atzīmējam ar koordinātām (1; 3).

Novelciet taisnu līniju caur šo punktu un sākuma punktu

Esam ieguvuši tiešās proporcionalitātes grafiku, kas dots pēc formulas y = 3x.

Atrodiet grafikā y vērtību, kas atbilst vērtībai x = 2.

Atrodiet punktu 2 uz x ass.

Caur to velciet vertikālu līniju, līdz tā krustojas ar grafiku.

Mēs novelkam horizontālu līniju uz spēlētāju asi. Uz y ass mēs ejam uz 6. punktu.

6 ir yk vērtība, kas atbilst vērtībai x = 2.

Izveidosim ar formulas dotās funkcijas grafiku y = 0,5x.

1. Šīs funkcijas domēns ir visu skaitļu kopa.

2. Atradīsim dažas atbilstošās mainīgo vērtības X Un plkst.

Ja x = -4, tad y = -2.
Ja x = -3, tad y = -1,5.
Ja x = -2, tad y = -1.
Ja x = -1, tad y = -0,5.
Ja x = 0, tad y = 0.
Ja x = 1, tad y = 0,5.
Ja x = 2, tad y = 1.
Ja x = 3, tad y = 1,5.
Ja x = 4, tad y = 2.

3. Atzīmēsim punktus koordinātu plaknē, kuru koordinātes noteicām 2. solī. Ievērojiet, ka konstruētie punkti pieder noteiktai taisnei.

4. Noteiksim, vai šai līnijai pieder citi funkcijas grafika punkti. Lai to izdarītu, grafikā atradīsim vēl vairāku punktu koordinātas.

Ja x = -3,5, tad y = -1,75.
Ja x = -2,5, tad y = -1,25.
Ja x = -1,5, tad y = -0,75.
Ja x = -0,5, tad y = -0,25.
Ja x = 0,5, tad y = 0,25.
Ja x = 1,5, tad y = 0,75.
Ja x = 2,5, tad y = 1,25.
Ja x = 3,5, tad y = 1,75.

Konstruējot jaunus punktus funkcijas grafikā, mēs pamanām, ka tie pieder vienai un tai pašai līnijai.

Ja mēs samazinām savu vērtību pakāpi (ņemsim, piemēram, vērtības X cauri 0,1; cauri 0,01 utt.), mēs no vilkšanas saņemsim citus grafa punktus, kas pieder tai pašai līnijai un atrodas arvien tuvāk viens otram. Dotās funkcijas diagrammas visu punktu kopa ir taisna līnija, kas iet caur sākuma punktu.

Tādējādi ar formulu dotās funkcijas grafiks y = khx, kur k ≠ 0, ir taisna līnija, kas iet caur izcelsmi.

Ja ar formulu dotās funkcijas definīcijas apgabals y = khx, kur k ≠ 0, nesastāv no visiem skaitļiem, tad tā grafiks ir līnijas punktu apakškopa (piemēram, stars, segments, atsevišķi punkti).

Lai izveidotu taisnu līniju, pietiek zināt tās divu punktu atrašanās vietu. Tāpēc uz visu skaitļu kopas definētu tiešās proporcionalitātes grafiku var izveidot, izmantojot jebkurus divus tā punktus (kā vienu no tiem ir ērti ņemt koordinātu sākumpunktu).

Ļaujiet, piemēram, vēlaties attēlot funkciju, kas dota ar formulu y = -1,5x. Izvēlēsimies kādu vērtību X, nav vienāds 0 , un aprēķiniet atbilstošo vērtību plkst.

Ja x = 2, tad y = -3.

Atzīmēsim punktu koordinātu plaknē ar koordinātām (2; -3) . Novelkam taisnu līniju caur šo punktu un izcelsmi. Šī taisnā līnija ir vēlamais grafiks.

Balstoties uz šo piemēru, to var pierādīt Jebkura taisne, kas iet caur koordinātu sākumpunktu un nesakrīt ar asīm, ir tiešas proporcionalitātes grafiks.

Pierādījums.

Dota noteikta taisne, kas iet caur koordinātu sākumpunktu un nesakrīt ar asīm. Paņemsim uz tā punktu ar abscisu 1. Apzīmēsim šī punkta ordinātu ar k. Acīmredzot, k ≠ 0. Pierādīsim, ka šī taisne ir tiešas proporcionalitātes grafiks ar koeficientu k.

Patiešām, no formulas y = kh izriet, ka, ja x = 0, tad y = 0, ja x = 1, tad y = k, t.i. funkcijas grafiks, kas dots ar formulu y = kх, kur k ≠ 0, ir taisne, kas iet caur punktiem (0; 0) un (1; k).

Jo caur diviem punktiem var novilkt tikai vienu taisni, tad šī taisne sakrīt ar formulas dotās funkcijas grafiku y = khx, kur k ≠ 0, kas bija tas, kas bija jāpierāda.

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

7. un 8. klasē tiek pētīts tiešās proporcionalitātes grafiks.

Kā izveidot tiešās proporcionalitātes grafiku?

Apskatīsim tiešās proporcionalitātes grafiku, izmantojot piemērus.

Tiešās proporcionalitātes grafika formula

Tiešās proporcionalitātes grafiks attēlo funkciju.

Kopumā tiešai proporcionalitātei ir formula

Tiešās proporcionalitātes grafika slīpuma leņķis attiecībā pret x asi ir atkarīgs no tiešās proporcionalitātes koeficienta lieluma un zīmes.

Tiešās proporcionalitātes grafiks iet cauri

Tiešās proporcionalitātes grafiks iet caur izcelsmi.

Tiešās proporcionalitātes grafiks ir taisna līnija. Taisni nosaka divi punkti.

Tādējādi, veidojot tiešās proporcionalitātes grafiku, pietiek ar divu punktu stāvokļa noteikšanu.

Bet mēs vienmēr zinām vienu no tiem - tā ir koordinātu izcelsme.

Atliek tikai atrast otro. Apskatīsim tiešās proporcionalitātes grafika konstruēšanas piemēru.

Grafikā tiešā proporcionalitāte y = 2x

Uzdevums .

Uzzīmējiet ar formulu doto tiešās proporcionalitātes grafiku

Risinājums.

Tur ir visi cipari.

Ņem jebkuru skaitli no tiešās proporcionalitātes domēna, lai tas būtu 1.

Atrodiet funkcijas vērtību, ja x ir vienāds ar 1

Y=2x=
2 * 1 = 2

tas ir, pie x = 1 mēs iegūstam y = 2. Punkts ar šīm koordinātām pieder funkcijas y = 2x grafikam.

Mēs zinām, ka tiešās proporcionalitātes grafiks ir taisna līnija, un taisni nosaka divi punkti.

Tiešās proporcionalitātes definīcija

Sākumā atcerēsimies šādu definīciju:

Definīcija

Divus lielumus sauc par tieši proporcionāliem, ja to attiecība ir vienāda ar noteiktu skaitli, kas nav nulle, tas ir:

\[\frac(y)(x)=k\]

No šejienes mēs redzam, ka $y=kx$.

Definīcija

Funkciju formā $y=kx$ sauc par tiešo proporcionalitāti.

Tiešā proporcionalitāte ir lineārās funkcijas $y=kx+b$ īpašs gadījums $b=0$. Skaitli $k$ sauc par proporcionalitātes koeficientu.

Tiešās proporcionalitātes piemērs ir Ņūtona otrais likums: ķermeņa paātrinājums ir tieši proporcionāls tam pieliktajam spēkam:

Šeit masa ir proporcionalitātes koeficients.

Tiešās proporcionalitātes funkcijas $f(x)=kx$ un tās grafika izpēte

Vispirms apsveriet funkciju $f\left(x\right)=kx$, kur $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k>0$. Līdz ar to šī funkcija palielinās visā definīcijas jomā. Ekstrēmu punktu nav.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafiks (1. att.).

Rīsi. 1. Funkcijas $y=kx$ grafiks $k>0$

Tagad apsveriet funkciju $f\left(x\right)=kx$, kur $k

1. Definīcijas domēns ir visi skaitļi.
2. Vērtību diapazons ir visi skaitļi.
3. $f\left(-x\right)=-kx=-f(x)$. Tiešās proporcionalitātes funkcija ir nepāra.
4. Funkcija iet caur izcelsmi.
5. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
6. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Tāpēc funkcijai nav lēciena punktu.
7. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
8. Grafiks (2. att.).

Rīsi. 2. Funkcijas $y=kx$ grafiks pie $k

Svarīgi: lai attēlotu funkcijas $y=kx$ grafiku, pietiek atrast vienu punktu $\left(x_0,\ y_0\right)$, kas atšķiras no sākuma, un novilkt taisnu līniju caur šo punktu un sākuma punktu.