Zostrojte graf priamej úmernosti pomocou daného vzorca. Priama úmernosť a jej graf. Štúdium funkcie priamej úmernosti $f(x)=kx$ a jej graf

Ako vytvoriť grafy priamej úmernosti?

Nakreslite graf priamej úmernosti podľa vzorca y = 3x

Riešenie .

Funkcia y = 3x je definovaná na celej číselnej osi. Cm.

Zoberieme akúkoľvek hodnotu x, nech je 1, a nájdeme y dosadením x rovného 1 do vzorca y = 3x

Y=3x=
3 * 1 = 3

čiže pre x = 1 dostaneme y = 3. Bod s týmito súradnicami patrí do grafu funkcie y = 3x.

Vieme, že graf priamej úmernosti je priamka a priamka je definovaná dvoma bodmi.

Práve sme našli jeden z nich a druhý pre priamu úmernosť je vždy pôvod.

Teraz sme pripravení na graf funkcie y = 3x.

Bod na súradnicovej rovine označíme súradnicami (1; 3).

Nakreslite priamku cez tento bod a počiatok

Získali sme graf priamej úmernosti daný vzorcom y = 3x.

Nájdite z grafu hodnotu y zodpovedajúcu hodnote x = 2.

Nájdite bod 2 na osi x.

Nakreslite cez ňu zvislú čiaru, kým sa nepretína s grafom.

Nakreslíme vodorovnú čiaru k osi hráčov. Na osi y prejdeme k bodu 6.

6 je hodnota yk zodpovedajúca hodnote x = 2.

Zostavme graf funkcie danej vzorcom y = 0,5x.

1. Doménou tejto funkcie je množina všetkých čísel.

2. Poďme nájsť nejaké zodpovedajúce hodnoty premenných X A pri.

Ak x = -4, potom y = -2.
Ak x = -3, potom y = -1,5.
Ak x = -2, potom y = -1.
Ak x = -1, potom y = -0,5.
Ak x = 0, potom y = 0.
Ak x = 1, potom y = 0,5.
Ak x = 2, potom y = 1.
Ak x = 3, potom y = 1,5.
Ak x = 4, potom y = 2.

3. Označme body v súradnicovej rovine, ktorých súradnice sme určili v kroku 2. Všimnite si, že zostrojené body patria určitej priamke.

4. Určme, či ďalšie body na grafe funkcie patria do tejto čiary. Na to nájdeme súradnice niekoľkých ďalších bodov na grafe.

Ak x = -3,5, potom y = -1,75.
Ak x = -2,5, potom y = -1,25.
Ak x = -1,5, potom y = -0,75.
Ak x = -0,5, potom y = -0,25.
Ak x = 0,5, potom y = 0,25.
Ak x = 1,5, potom y = 0,75.
Ak x = 2,5, potom y = 1,25.
Ak x = 3,5, potom y = 1,75.

Po zostrojení nových bodov na grafe funkcie si všimneme, že patria do tej istej priamky.

Ak znížime krok našich hodnôt (vezmite si napríklad hodnoty X cez 0,1; cez 0,01 atď.), dostaneme ďalšie body grafu patriace do tej istej čiary a umiestnené čoraz bližšie k sebe od ťahania. Množina všetkých bodov na grafe danej funkcie je priamka prechádzajúca počiatkom.

Teda graf funkcie danej vzorcom y = khx, kde k ≠ 0, je priamka prechádzajúca počiatkom.

Ak je definičný obor funkcie daný vzorcom y = khx, kde k ≠ 0, nepozostáva zo všetkých čísel, potom je jeho graf podmnožinou bodov na priamke (napríklad lúč, úsečka, jednotlivé body).

Na zostrojenie priamky stačí poznať polohu jej dvoch bodov. Preto graf priamej úmernosti definovanej na množine všetkých čísel možno zostrojiť pomocou ľubovoľných dvoch jej bodov (vhodné je brať počiatok súradníc za jeden z nich).

Povedzme napríklad, že chcete vykresliť funkciu zadanú vzorcom y = -1,5x. Vyberme si nejakú hodnotu X, nerovná sa 0 a vypočítajte zodpovedajúcu hodnotu pri.

Ak x = 2, potom y = -3.

Označme bod na súradnicovej rovine súradnicami (2; -3) . Nakreslíme priamku cez tento bod a počiatok. Táto priamka je požadovaný graf.

Na základe tohto príkladu sa to dá dokázať Akákoľvek priamka prechádzajúca počiatkom súradníc a nezhodujúca sa s osami je grafom priamej úmernosti.

Dôkaz.

Nech je daná určitá priamka, ktorá prechádza počiatkom súradníc a nezhoduje sa s osami. Zoberme na ňom bod s osou 1. Označme súradnicu tohto bodu k. Je zrejmé, že k ≠ 0. Dokážme, že táto priamka je grafom priamej úmernosti s koeficientom k.

Zo vzorca y = kh totiž vyplýva, že ak x = 0, potom y = 0, ak x = 1, potom y = k, t.j. graf funkcie daný vzorcom y = kх, kde k ≠ 0, je priamka prechádzajúca bodmi (0; 0) a (1; k).

Pretože cez dva body možno nakresliť iba jednu priamku, potom sa táto priamka zhoduje s grafom funkcie danej vzorcom y = khx, kde k ≠ 0, čo bolo potrebné dokázať.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

V 7. a 8. ročníku sa študuje graf priamej úmernosti.

Ako zostaviť graf priamej úmernosti?

Pozrime sa na graf priamej úmernosti pomocou príkladov.

Vzorec grafu priamej úmernosti

Graf priamej úmernosti predstavuje funkciu.

Vo všeobecnosti platí, že priama úmernosť má vzorec

Uhol sklonu grafu priamej úmernosti voči osi x závisí od veľkosti a znamienka koeficientu priamej úmernosti.

Prechádza graf priamej úmernosti

Počiatkom prechádza graf priamej úmernosti.

Graf priamej úmernosti je priamka. Priamka je definovaná dvoma bodmi.

Pri konštrukcii grafu priamej úmernosti teda stačí určiť polohu dvoch bodov.

Ale vždy poznáme jednu z nich - to je pôvod súradníc.

Zostáva len nájsť toho druhého. Pozrime sa na príklad zostrojenia grafu priamej úmernosti.

Graf priamej úmernosti y = 2x

Úloha .

Zostrojte graf priamej úmernosti danej vzorcom

Riešenie .

Všetky čísla sú tam.

Vezmite ľubovoľné číslo z oblasti priamej úmernosti, nech je 1.

Nájdite hodnotu funkcie, keď sa x rovná 1

Y=2x=
2 * 1 = 2

čiže pre x = 1 dostaneme y = 2. Bod s týmito súradnicami patrí do grafu funkcie y = 2x.

Vieme, že graf priamej úmernosti je priamka a priamka je definovaná dvoma bodmi.

Definícia priamej úmernosti

Na začiatok si pripomeňme nasledujúcu definíciu:

Definícia

Dve veličiny sa nazývajú priamo úmerné, ak sa ich pomer rovná konkrétnemu nenulovému číslu, to znamená:

\[\frac(y)(x)=k\]

Odtiaľ vidíme, že $y=kx$.

Definícia

Funkcia tvaru $y=kx$ sa nazýva priama úmernosť.

Priama úmernosť je špeciálny prípad lineárnej funkcie $y=kx+b$ pre $b=0$. Číslo $k$ sa nazýva koeficient proporcionality.

Príkladom priamej úmernosti je druhý Newtonov zákon: Zrýchlenie telesa je priamo úmerné sile, ktorá naň pôsobí:

Hmotnosť je tu koeficient úmernosti.

Štúdium funkcie priamej úmernosti $f(x)=kx$ a jej graf

Najprv zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx$, kde $k > 0$.

1. $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx\vpravo))"=k>0$. V dôsledku toho sa táto funkcia zvyšuje v celej oblasti definície. Neexistujú žiadne extrémne body.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Graf (obr. 1).

Ryža. 1. Graf funkcie $y=kx$, pre $k>0$

Teraz zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx$, kde $k

1. Definičnou doménou sú všetky čísla.
2. Rozsah hodnôt sú všetky čísla.
3. $f\left(-x\right)=-kx=-f(x)$. Funkcia priamej úmernosti je nepárna.
4. Funkcia prechádza počiatkom.
5. $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx\vpravo))"=k
6. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Funkcia teda nemá žiadne inflexné body.
7. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
8. Graf (obr. 2).

Ryža. 2. Graf funkcie $y=kx$, pri $k

Dôležité: na vykreslenie grafu funkcie $y=kx$ stačí nájsť jeden bod $\left(x_0,\ y_0\right)$ odlišný od počiatku a cez tento bod a počiatok nakresliť priamku.