Рухи.
Центральна
.
симетрія
Виконала учениця 11 класу
Гейнріх Юлія
Перевірила вчителька
математики Яковенко Олена
Олексіївна
5klass.netВизначення
Доведення
Застосування у житті
Застосування у природі
Рішення завдання
Центральна симетрія
BВИЗНАЧЕННЯ:
А
Перетворення, що перекладає
кожну точку А фігури в точку А1
симетричну їй щодо
центру О, називається центральною
симетрією.
C
Про
C1
А1
О – центр симетрії
(крапка нерухома)
B1
Центральна симетрія
MКрапки М та М1
називаються
симетричними
щодо точки А,
якщо A – середина
MM1.
A – центр
симетрії
A
M1 Фігура називається
симетричною
щодо
центру симетрії,
якщо для кожної
точки фігури
симетрична їй
точка також
належить цій
фігурі. Однак можна помітити, що
окремим випадком повороту, а саме,
повороту на 180 градусів.
Справді, нехай за центральної
симетрії щодо точки O точка
X перейшла в X". Тоді кут XOX" = 180
градусів, як розгорнутий, і XO=OX",
отже, таке перетворення
є поворотом на 180 градусів.
Звідси також випливає, що
центральна симетрія є
рухом. У курсі планиметрії ми
знайомилися з рухами
площині, тобто.
відображення площини на
себе, що зберігають
відстань між точками.
Введемо тепер поняття
руху простору.
Попередньо роз'яснимо,
що розуміється під словами
відображення простору на Припустимо, що кожній точці М
простору поставлена в
відповідність деяка точка
М1, причому будь-яка точка М1
простору виявилася
поставленої у відповідність
якийсь точці М. Тоді
кажуть, що поставлено
відображення простору на
себе. M
A
M1
Рух
просторуце відображення
простору на
себе,
зберігає
відстань
між точками. Центральна симетрія є
рухом, що змінює напрямки на
протилежні. Тобто якщо при
центральної симетрії щодо точки O
точкам X і Y відповідають точки X "і Y", то
XY = - X "Y"
Доведення:
Оскільки точка O - середина відрізка XX", то
очевидно,
OX"= - OX
Аналогічно
OY"= - OY
З огляду на це знаходимо вектор X"Y":
X"Y"=OY"OX"=OY+OX=(OYOX)= XY
Таким чином, X"Y" = XY. Доведена властивість є
характерною властивістю
центральної симетрії, а
саме, справедливо протилежне
твердження, що є
ознакою центральної
симетрії: "Рух,
змінює напрямки на
протилежні, є
центральною симетрією.
Завдання:
Доведіть, що за центральноїсиметрії:
а) пряма, що не надходить через центр
симетрії, що відображається на
паралельну їй пряму;
б) пряма, що проходить через центр
симетрії відображається на себе. Симетрію можна
виявити майже скрізь,
якщо знати, як її шукати.
Багато народів з
найдавніших часів
володіли уявленням про
симетрії у широкому
сенсі – як про
врівноваженості та
гармонії. Творчість
людей у всіх своїх
проявах тяжіє до
симетрії. За допомогою
симетрії людина завжди
намагався, за словами
німецького математика
Германа Вейля, «осягнути і
створити порядок, красу та
досконалість».
Висновок
Тема «Восьова симетрія»
Олійникова Галина Михайлівна,
Муніципальний казенний загальноосвітній заклад «Яблоченська середня загальноосвітня школа»
Хохольського муніципального району Воронезької області
«Математика виявляє порядок, симетрію та визначеність, а це найважливіші види прекрасного».
Аристотель (384 - 322гг до н.е.)
Технологія проблемного навчання
Предмет «Математика»
Мета уроку:організація продуктивної діяльності учнів, спрямованої на досягнення ними наступних результатів:
метапредметних результатів:
у пізнавальній діяльності:
допомогти учням усвідомити соціальну, практичну та особисту значущість навчального матеріалу;
використовувати для пізнання навколишнього світу різних методів (спостереження, вимір, досвід, експеримент, моделювання та ін.)
порівняння, зіставлення, класифікація предметів та об'єктів за одним або декількома запропонованими критеріями;
самостійне виконання різноманітних творчих робіт;
участь у проектній діяльності;
в інформаційно - комунікативної діяльності:
створення письмових висловлювань, що адекватно передають прослухану та прочитануінформацію із заданим ступенем згорнутості (коротко, вибірково,повно)
Приведення прикладурів, підбір аргументів, формулювання висновків;
відображення в уснійта письмовій формі результатів своєї діяльності;
у перефразувати думку (пояснювати «іншими словами»);
використання для вирішення пізнавальних та комунікативних завданьрізних джерел інформації, включаючи енциклопедії, словари, Інтернет-ресурси та інші бази даних;
у рефлексивній діяльності:
оцінювання своїх навчальних досягнень;
усвідомлене визначеннясфери своїх інтересів та можливостей;
володіння вміннями спільної діяльності: узгодженнята координація діяльність з іншими її учасниками; об'єктивне оцінювання свого внеску у вирішення загальних завдань колективу;
оцінювання своєї діяльності з погляду моральнихнорм та естетичних цінностей;
дотримання правил здорового способу життя
особистісних результатів:
вміти впевнено та легко виконувати геометричні побудови;
вміти висловлювати свої думки у письмовій формі;
вміти добре говорити та легко висловлювати свої думки;
формувати характер;
навчитися застосовувати отримані знання та навички до вирішення нових проблем;
міркувати логічно;
вміти фіксувати власні труднощі, виявляти їхню причину, будувати шляхи виходу із труднощів;
предметних результатів :
вміти будувати точки, фігури, симетричні дані;
наводити приклади симетричних об'єктів навколишньої дійсності;
провести дослідження з цієї теми у природі та архітектурі;
Освоєння способів діяльності, які застосовуються на уроці математики з інтеграцією в анатомію, біологію, екологію, культуру здорового способу життя, архітектуру.
Тип уроку:урок-дослідження.
Форми роботи:індивідуальна, парна, групова, фронтальна.
Устаткування: комп'ютерний кабінет з виходом в інтернет, проектор, екран, презентація, фігурки-жетони, малюнки, магніти, кольорова крейда; у кожного школяра папка з набором геометричних моделей, шкільні інструменти, кольоровий папір, кольорові олівці, ножиці.
Методи: пояснювально-ілюстративний, частково-пошуковий, дослідницький, проектний
Форми пізнавальної діяльності учнів: фронтальна, індивідуальна.
Попередньо учні з першого уроку теми «Осіва симетрія» групуються (за бажанням та інтересами) на 3 групи, рівні за чисельністю, таким чином, щоб у кожній групі були учні, які мають вдома вихід до Інтернету. Кожна група отримує завдання для міні-дослідження: симетрія у природі, анатомії людини та архітектурі.
Під час проведення уроку групи зберігаються. За кожну правильну відповідь команда отримує фігурку-жетон. Одна фігурка один бал. Команда, яка набрала найбільше балів, отримує оцінку 5; дві інші проводять усередині групи самооцінку.
Актуалізація.
Ми живемо в стрімко - мінливому високотехнологічному, інформаційному суспільстві, і не замислюємося, чому деякі навколишні предмети і явища пробуджують почуття прекрасного, а інші ні.
Влітку – сонечко. Осіннє жовте листя на деревах або листя, що опало на землю - дуже красиві. А взимку? - Сніжинки.
Ми йдемо вулицею і раптом уповільнимо крок, побачивши пропорційну і гарну будівлю.
Повз проходить безліч людей, а кожен з нас зверне увагу на когось одного і скаже: «Ця людина гарна і гармонійна».
Цей ланцюжок можна продовжувати, але ми зараз говоримо про щось єдине: про красу, гармонію та пропорційність живої та неживої природи.
Я запрошую (прошу підійти спеціально підготовлену) ученицю цього класу. Діти звертають увагу на симетричну зачіску, сережки, блузку, шаль із симетричним малюнком.
Сьогодні у нас у гостях ваша однокласниця і вона називається…
- "Симетрія".
І сьогодні ми з вами торкнемося прекрасного математичного явища – осьової симетрії. (Слайд 1-3)
Запишемо у зошиті тему уроку «Осіва симетрія».
Сьогодні на уроці ми спробуємо відповісти на такі запитання:
Що таке симетрія?
Що являє собою осьова симетрія?
Навчимося визначати симетричні постаті.
Повторимо побудову симетричних точок та геометричних фігур щодо прямої.
Яку роль грає симетрія у повсякденному житті людини (у природі, архітектурі, у побуті)?
- Чи можна, знаючи про таємницю гармонії, зробити світ кращим і красивішим?
Вчитель та учні записують число, класна робота, тему уроку на дошці та у зошиті.
Потім пропонує учням вибрати із запропонованих на екрані особистісні цілі (або особистісні результати), для досягнення яких кожен з них намагатиметься максимально попрацювати на цьому уроці. Учні визначають собі особистісні результати (вибираючи зі списку на екрані), яких прагнутимуть на уроці, і номер мети (на полях) у зошити.
Фронтальна розмова.
Що таке симетрія? (Слайд 4-8)
Слово симетрія здавна вживалося у значенні гармонія та краса.
Таємницю гармонії намагалися осмислити Евклід, Піфагор, Леонардо да Вінчі, Кеплер та багато інших найбільших мислителів людства.
"Симетрія - це ідея, за допомогою якої людина століттями намагалася пояснити і створити порядок, красу, досконалість" Г. Вейль.
А що ви можете сказати про значення слова «симетрія» та «вісь»?
Симетрія – це однаковість, пропорційність у розташуванні частин чогось по протилежним сторонам від точки, прямої чи площині.
Вісь – це пряма (що проходить через геометричну фігуру уявна лінія, що має тільки їй властиві властивості).
Які точки називаються симетричними?
Визначення симетричних точок щодо прямої:
"Дві точки А і В називаються симетричними щодо прямої р, якщо ця пряма проходить через середину відрізка АВ, що з'єднує ці точки і перпедикулярна до нього."
Сформулюйте алгоритм побудови точки, симетричної даної щодо деякої прямої.
Чому не можна буде виконати завдання, яке звучить так: «Побудуйте фігуру, симетричну даній»?
Це завдання неповне, тому що неясно, щодо чого виконується симетрія: щодо точки або щодо прямої. Отже, для виконання осьової симетрії потрібно знати вісь симетрії.
Закріплення матеріалу.
1).Побудова фігури, симетричної даної (естафета за групами)
Письмова робота у зошитах та на дошці. (Слайд 9-12)
Завдання 1. Побудуйте точку, симетричну даної щодо прямої a .
Завдання 2.Побудуйте пряму, симетричну даної щодо прямої m.
Завдання 3.Побудуйте трикутник, симетричний даному щодо прямої n .
Завдання 4. Намалюйте фігуру від рукисиметричну даної відносно вертикальної осі (ялинка, птах, котик) (Слайд 13)
Фігури намальовані на аркушах та прикріплені до дошки. Кожен виходить до дошки та робить один елемент зображення, симетричне одній фігурі з тих, що запропоновані його команді. Виграє та команда, яка перша впорається із завданням. Оцінювання проводиться за такими критеріями:
Правильне виконання побудови;
Естетичному сприйняттю;
Участь кожного члена групи.
Завдання 5 (усна робота ). Чи вірно, що наступні числові проміжки симєтричні щодо прямої m перпендикулярної до координатної прямої і проходить через початок відліку О:
а) відрізок від 3 до 7 та відрізок від -7 до -3;
б) відрізок від10 до 25 та інтервал від -25 до -10;
в) окриті промені від 1 до нескінченності та від мінус нескінченності до 1?
Відповідь: а) так; б) ні; в) так.
Завдання 6. Дослідницька робота «Знайдіть осі симетрії геометричної фігури».
Як визначити, чи має фігура осі симетрії? (Слайд 14-18)
Перегнути її.
Так, дійсно, якщо їх зігнути вздовж зображеної прямої, то її ліва та права частини збігатимуться. Такі фігури є симетричними щодо прямої, а ця пряма – віссю симетрії.
А скільки осей симетрії може мати фігура? На партах у вас лежать геометричні постаті. Ваше завдання самостійно визначити скільки осей симетрії мають кожна фігура. Визначте саму «симетричну» та «несиметричну» фігуру.
Учні знаходять осі симетрії таких геометричних фігур, як кут, рівносторонній, рівнобедрений і різнобічний трикутник, прямокутник, ромб, квадрат, трапеція, паралелограм, коло, неправильний багатокутник.
З'ясуймо, які геометричні фігури мають одну вісь симетрії?
Кут, рівнобедрений трикутник, трапеція.
Дві осі симетрії?
Прямокутник, ромб.
Чи є діагоналі прямокутника осями симетрії і чому?
Не є тому, що при перегинанні прямокутника по діагоналі трикутники не збігаються.
Учні перегинають фігуру по діагоналі і показують, що частини прямокутника не збігаються, тобто діагональ прямокутника не є віссю симетрії.
Три осі симетрії?
Рівносторонній трикутник.
Чотири осі симетрії?
Квадрат.
Скільки осей симетрії має коло?
Безліч. Це прямі через центр кола.
Отже, яка сама «симетрична» і «несиметрична» фігура?
Найбільша «симетрична»-коло, а «несиметрична»-різносторонній трикутник, паралелограм; багатокутник, у якого сторони не рівні.
Завдання 7 ( Усно) . Наведіть приклади симетричних предметів з навколишнього середовища вдома і на вулиці? А ми з вами маємо симетрію?
Завдання 8 (Дослідницька та «краєзнавча» робота-10 балів).
Пропоную провести міні-дослідження в парах або невеликих групах з подальшим обговоренням про наявність симетрії у зовнішній та внутрішній будові людини, тварин, рослин; в архітектурі будівель країн світу, нашого міста та школи.
Під час підготовки повідомлень учні використовують Інтернет.
Результати міні-досліджень представляють учні класу.Кожна група учнів представляє результати досліджень з тем:
Осьова симетрія та природа.
Осьова симетрія та людина.
Осьова симетрія в архітектурі.
Створюють власний продукт письмово та презентацію.
Захист оцінюється за:
Оптимально вибраний матеріал,
Лаконічному викладу, логічним міркуванням,
Естетичному сприйняттю,
Застосування у житті.
-«Осіва симетрія в природі».(Слайд 19-22)
Уважне спостереження показує, що основу краси багатьох форм, створених природою, становить симетрію. Яскраво виражену симетрію мають листя, квіти, плоди.
Дослідження екологів тісно пов'язані з навколишніми рослинами, деревами.
За симетричністю листя берези можна говорити про здорову екологічну обстановку мікрорайону. Якщо листя берези не симетричне, то екологічна ситуація несприятлива, це вказує на наявність радіації або хімічних забруднень. Досліджуємо листя берези, зібране у мікрорайоні західного Батайська. На основі роздавального матеріалу робимо висновок, що екологічна ситуація мікрорайону сприятлива.
Він сипле з неба дрібною крупою, літає навколо ліхтарів величезними пухнастими пластівцями, стоїть стовпом у місячному світлі крижаними голками. Здавалося б, яка нісенітниця! Усього замерзла вода. …але скільки питань виникає у людини, що дивиться на сніжинки.
Сніжинка - Це група кристаликів, утворена більш ніж з двохсот крижаних частинок.
Симетрія – це властивість кристалів поєднуватись один з одним у різних положеннях шляхом поворотів, паралельних переносів, відбитків.
Порахуйте осі симетрії у моделі сніжинки.
-«Осіва симетрія та тваринний світ». (Слайд 23)
Учні відзначають симетрію зовнішньої будови тварин, наводять приклади симетричного забарвлення, але стверджують у тому, що внутрішнє будову тварин симетрично.
-«Осіва симетрія та людина». (Слайд 24-25)
Краса людського тіла обумовлена пропорційністю та симетрією. Будова внутрішніх органів – не симетрична.Проте людська постать може бути асиметричною. Одним з таких прикладів є сколіоз – викривлення хребта, набуте навіть неправильною поставою.
Сколіоз – бічне викривлення хребта – частіше виникає у віці від 5 до 16 років. Серед п'ятирічних сколіоз страждають приблизно 5-10% дітей, до закінчення ж школи сколіоз виявляється майже у половини підлітків.
Одна з головних причин - неправильна поза під час навчальних занять, через яку виникає нерівномірне навантаження на хребет і м'язи. Чим же небезпечний сколіоз і яких хвороб він може призвести надалі?
Більшість органів людського тіла безпосередньо управляються від спинного мозку через спинномозкові нерви. Утиск корінців нервів, що відходять від спинного мозку, веде до порушення роботи внутрішніх органів. На наявність зв'язку між станом хребта та функціонуванням внутрішніх органів вказував ще Гіппократ. Профілактика сколіозу краще, ніж його лікування.
При перших ознаках сколіозу необхідно проконсультуватися з фахівцем, виконувати режим, що полегшує навантаження на хребет, забезпечити багате на вітаміни і мінеральні речовини харчування (хребту вкрай необхідні такі мікроелементи як кальцій, цинк, мідь), потрібно займатися ранковою гімнастикою та лікувальною фізкультурою. Важливо навчиться правильно сидіти за письмовим столом: потилиця повинна бути трохи піднята і відведена трохи назад, а підборіддя трохи опущене. За такого стану голови випрямляється весь хребет і поліпшується кровопостачання мозку. Ноги повинні стояти на підлозі, причому кут у колінних суглобах має становити приблизно 90 градусів.
Хребет є однією з найважливіших складових частин людського тіла. Завдяки йому ми можемо ходити, бігати, стрибати, присідати. Від постави багато в чому залежить краса і чарівність людини.
80% російських дітей страждають різними видами порушення постави-від плоскостопості до сколіозу. Формування вигинів хребта закінчується 6-7 років і закріплюється до 14-17 років. Отже, саме в цьому віці підлітку важливо виробити правильну поставу і тим самим закласти надійний фундамент здоров'я на довгі роки вперед.
Порушення постави це не захворювання, а стан, яке підлягає корекції. Кажуть, що до 21 року, поки організм росте, багато захворювань кістково-м'язової системи можна вилікувати. Пропоную всім учасникам нашого уроку стежити за правильною поставою.
-«Осіва симетрія в архітектурі будівель міст світу, міста Батайська».(Слайд 26-32)
Найнаочніше симетрія видно в архітектурі. У свідомості давньогрецьких архітекторів симетрія стала уособленням закономірності, доцільності, краси. Зразками таких споруд є Піраміда Хеопса в Єгипті, Собор Паризької Богоматері та Ейфелева вежа у Франції, Біг Бен у Великій Британії, мечеть Тадж Махал у Туреччині.
Архітектура російських православних храмів та соборів свідчить про те, що з найдавніших часів архітекторидобре знали математичну пропорцію та симетрію і використовували їх при будівництві архітектурних споруд Русі: Кремль, собор Христа Спасителя м.Москва, Казанський та Ісаакіївський собори м.Санкт-Петербург, собори м.Пскова, м.Нижнього Новгорода та інші.
Ми задалися ще одним питанням: «А чи сучасні архітектори володіють секретом створення краси?» Інтерес для нас є рідним містом. Наприклад, символ Батайська, який знаходиться в Центральному парку, полюбився багатьом городянам, естетичне сприйняття його ми пояснюємо симетричністю його арки. Ми бачимо симетрію в адміністративних, житлових будинках, будинках культурного дозвілля.
Зовнішність Свято-Троїцького храму – головної пам'ятки міста, згідно з архітектурними канонами будівництва російських соборів, є прикладом симетрії та пропорційності. Вивчаючи меморіал «Клятва поколінь» та пам'ятники, ми з'ясували, що вони засновані на симетрії. Будівля залізничного вокзалу нашого міста – також взірець симетричної будівлі. Таким чином, більшість будівель, що формують обличчя нашого міста, гармонійні і відповідають законам краси.
-«Осіва симетрія і наш шкільний двір». (Слайд 33)
Досліджуючи розміри рідної школи, ми бачимо, що фасад будівлі, ганок, секція шкільної огорожі, малі архітектурні форми, клумби відповідають правилам симетрії. Тому загальний вигляд шкільного двору має гармонійний вигляд.
Рефлексія. (Слайд 34-37)
- На слайдах презентації представлені приклади симетричних та не симетричних предметів навколишнього світу (3 слайди). Учням пропонується визначити зразки симетричних та несиметричних предметів, проаналізувати чому?
Домашнє завдання:
- творчі завдання на тему «Висловлювання великих учених про симетрію»;
- міні-презентації, фоторепортажі про симетрію навколишньої дійсності;
- створити моделі, що мають симетрію, використовуючи кольоровий папір, ножиці, фломастери;
Своєтворче завдання.
Висновки. (Слайд 38)
Осьова симетрія – математичне поняття.
Навчилися визначати симетричні постаті.
Навчилися будувати симетричні точки та геометричні фігури щодо прямої.
Симетрія це гармонія.
Таємницю гармонії намагалися осмислити великі мислителі людства. Сьогодні на уроці в розгадку цієї таємниці поринули й ми. З'ясували, що симетрія грає одну з головних напрямів у повсякденному житті: у предметах побуту, в архітектурі, в природі.Знаючи про таємницю гармонії, однією з яких є осьова симетрія, можна зробити світ кращим і красивішим.
Знаєте відому фразу: "Краса врятує світ?" Важко не погодитись із Федором Михайловичем Достоєвським. Ми всі хочемо зробити своє життя гармонійнішим і красивішим. Хлопці, як ви вважаєте, може ми знайшли секрет створення краси?
Підсумки уроку.
Чи була дана відповідь на проблемну ситуацію уроку, що нового дізналися на уроці, чому навчилися, що спричинило труднощі і чи дозволені вони на уроці?
Виставляються оцінки в журнал та щоденники учнів. Команда, що набрала найбільшу кількість балів і учні інших груп з високими особистими результатами, отримують оцінку 5; команда, що посіла друге місце-оцінку 4.
Презентація «Руху. Центральна симетрія» є наочним посібником для ведення уроку математики на цю тему. За допомогою посібника вчителю легше сформувати уявлення учня про центральну симетрію, навчити застосовувати знання про дане поняття під час вирішення завдань. У результаті презентації дається наочне уявлення центральної симетрії, визначення поняття, відзначаються властивості симетрії, описується приклад розв'язання завдання, у якій використовуються отримані теоретичні знання.
Поняття руху одна із найважливіших математичних понять. Розглядати його без наочного уявлення неможливо. Презентація - найкращий спосіб найбільш зрозуміло і вигідно уявити навчальний матеріал з цієї теми. У презентації містяться ілюстрації, які допомагають швидше сформувати уявлення про центральну симетрію, анімацію, що покращує наочність демонстрації та забезпечує послідовну подачу навчального матеріалу. Посібник може супроводжувати пояснення вчителя, допомагаючи йому швидше досягти навчальних цілей та завдань, сприяючи підвищенню ефективності навчання.
Демонстрація починається з уявлення поняття центральної симетрії на площині. На малюнку зображено площину α, на якій зазначено точку О, щодо якої розглядається симетрія. Від точки в одну сторону відкладений відрізок АТ, рівний якому А 1 Про відкладений в протилежну сторону від центру симетрії. На малюнку видно, що збудовані відрізки лежать на одній прямій. З другого краю слайді поняття розглядається докладніше з прикладу точки. Зазначається, що центральна симетрія являє собою процес відображення деякої точки До точки К 1 і назад. На малюнку демонструється таке відображення.
На слайді 3 вводиться визначення центральної симетрії як відображення простору, що характеризується переходом кожної точки геометричної фігури до симетричної відносно обраного центру. Визначення проілюстровано малюнком, на якому зображено яблуко та відображення кожної його точки у відповідну точку, симетричну по відношенню до деякої точки на площині. Таким чином, отримуємо симетричне зображення яблука на площині щодо цієї точки.
На слайді 4 поняття центральної симетрії у координатах. На малюнку зображається просторова прямокутна система координат Оxyz. У просторі відзначено точку М(x;y;z). Відносно початку координат М симетрично відображається і переходить у відповідну М 1 (x 1; y 1; z 1). Демонструється властивість центральної симетрії. Зазначається, що середнє арифметичне відповідних координат даних точок М(x; y; z), М 1 (x 1; y 1; z 1) дорівнює нулю, тобто (x + x 1) / 2 = 0; (y+ y 1)/2=0; (z+z 1)/2=0. Це рівнозначно з того що x=-x 1 ; y=-y 1; z = -z 1 . Також наголошується, що дані формули будуть вірними і при збігу точки з початком координат. Далі доводиться рівність відстаней, що між точками, симетрично відбитих щодо центру симетрії - деякої точки. Наприклад вказуються деякі точки А(x 1 ;y 1 ;z 1 ) і В(x 2 ;y 2 ;z 2 ). Щодо центру симетрії дані точки відображаються в деякі точки з протилежними координатами А(-x 1 ;-y 1 ;-z 1 ) і В(-x 2 ;-y 2 ;-z 2 ). Знаючи координати точок та формулу для знаходження відстаней між ними визначаємо, що АВ=√(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2), а для відображених точок А 1 У 1 =√(-x 2 +x 1) 2 +(-y 2 +y 1) 2 +(-z 2 +z 1) 2). Враховуючи властивості зведення квадрат, можна відзначити справедливість рівності АВ = А 1 В 1 . Збереження відстаней між точками при центральній симетрії свідчить у тому, що вона рухом.
Описується розв'язання задачі, в якій розглядається центральна симетрія щодо О. На малюнку зображено пряму, на якій виділено точки М, А, В, центр симетрії О, пряму, паралельну даній, на якій лежать точки М 1 , А 1 і В 1 . Відрізок АВ відображається у відрізок А 1 В 1 , точка М - точку М 1 . Для даного побудова відзначається рівність відстаней, яка обумовлена властивостями центральної симетрії: ОА=ОА 1 , ААВ = А 1 ОВ 1 , ОВ = ОВ 1 . Рівність двох сторін, кутів означає, що відповідні трикутники дорівнюють ΔАОВ=ΔА 1 ОВ 1 . Також вказується, що кути ∠АВО=∠А 1 В 1 Про як навхрест лежать при прямих А 1 В 1 і АВ, тому відрізки АВ та А 1 В 1 є паралельними між собою. Далі доводиться, що пряма при центральній симетрії відображається паралельну пряму. Розглядається ще одна точка М, що належить прямій АВ. Оскільки кути, що утворюються при побудові, ∠МОА=∠М 1 ОА 1 рівні як вертикальні, а ∠МАО=∠М 1 А 1 О рівні як навхрест лежачі, а згідно з побудовою відрізки ОА=ОА 1 , то трикутники ΔМАО=ΔМ 1 А 1 О. З цього випливає збереження відстані МО = М1О.
Відповідно, можна відзначити перехід точки М в М 1 при центральній симетрії, і перехід М 1 в точку М при центральній симетрії щодо О. пряма при центральній симетрії переходить у пряму. На останньому слайді можна на практичному прикладі розглянути центральну симетрію, при якій кожна точка яблука і всі лінії відображаються симетрично, отримуючи перевернене зображення.
Презентація «Руху. Центральна симетрія» може застосовуватися підвищення ефективності традиційного шкільного уроку математики на цю тему. Також цей матеріал може успішно використовуватися для покращення наочності пояснення вчителя під час дистанційного навчання. Учням, які недостатньо добре засвоїли тему, посібник допоможе отримати більш чітке уявлення про предмет, що вивчається.
Осьова та центральна симетрія
“ Симетрія є тією ідеєю, за допомогою якої людина протягом століть намагався осягнути і створити порядок, красу та досконалість”. Німецький математик Г. Вейль
Симетрія (означає "пропорційність") - властивість геометричних об'єктів поєднуватися з собою при певних перетвореннях. Під симетрією розуміють будь-яку правильність у внутрішній будові тіла чи фігури.
Симетрія щодо точки - Це центральна симетрія, а симетрія щодо прямої - це осьова симетрія.
Симетрія щодо точки передбачає, що з обох боків від точки на однакових відстанях знаходиться щось, наприклад інші точки або геометричне місце точок (прямі лінії, криві лінії, геометричні фігури).
Симетрія щодо прямої (осі симетрії) передбачає, що по перпендикуляру, проведеному через кожну точку осі симетрії, на однаковій відстані від неї розташовані дві симетричні точки. Щодо осі симетрії (прямий) можуть розташовуватися ті самі геометричні фігури, що й щодо точки симетрії.
Вісь симетрії служить перпендикуляром до середин горизонтальних прямих, що обмежують лист. Симетричні точки (R і F, C і D) розташовані на однаковій відстані від осьової прямої - перпендикуляра до прямих, що з'єднують ці точки. Отже, всі точки перпендикуляра (осі симетрії), проведеного через середину відрізка, віддалені від його кінців; або будь-яка точка перпендикуляра (осі симетрії) до середини відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка.
Якщо з'єднати прямі симетричні точки (точки геометричної фігури) через точку симетрії, то симетричні точки лежатимуть на кінцях прямий, а точка симетрії буде її серединою. Якщо закріпити точку симетрії та обертати пряму, то симетричні точки опишуть криві, кожна точка яких теж буде симетрична точці іншої кривої лінії.
Симетрія в архітектурі
Здавна людина використовувала симетрію в архітектурі. Особливо блискуче використовували симетрію в архітектурних спорудах древні архітектори. Причому давньогрецькі архітектори були переконані, що у своїх творах вони керуються законами, що керують природою. Вибираючи симетричні форми, художник тим самим висловлював своє розуміння природної гармонії як стійкості та рівноваги. Храми, присвячені богам, мають бути такими: боги вічні, їх хвилюють людські турботи. Найбільш зрозумілі та врівноважені будівлі із симетричною композицією. Стародавнім храмам, вежам середньовічних замків, сучасним будинкам симетрія надає гармонійність, закінченість.
Сфінкс у Гізі
Мечеть Асуан у Єгипті
Симетрія у мистецтві
Симетрія використовується у таких видах мистецтва, як література, російська мова, музика, балет, ювелірне мистецтво.
Якщо придивитися до друкованих літер М, П, Т, Ш, В, Е, З, К, С, Е, Ж, Н, О, Ф, Х, можна побачити, що вони симетричні. Причому перші чотири вісь симетрії проходить вертикально, а в наступних шести – горизонтально, а літери Ж, Н, О, Ф, Х мають по дві осі симетрії.
Орнамент
Орнамент (від лат.ornamentum - прикраса) - візерунок, що складається з ритмічно впорядкованих елементів, що повторюються. Він може бути стрічковим (його називають бордюром), сітчастим та розетчастим. Орнамент, вписаний у коло або правильний багатокутник, називається розеткою. Сітчастий орнамент заповнює всю плоску поверхню суцільним візерунком. Бордюр виходить при паралельному перенесенні вздовж прямої.
Дзеркальна симетрія
Симетрію щодо площини у деяких джерелах називають дзеркальною. Прикладами фігур-дзеркальних відображень одна одній можуть служити права і ліва руки людини, правий і лівий гвинти, частини архітектурних форм.
Людина інстинктивно прагне стійкості, зручності, краси. Тому він тягнеться до предметів, які мають більше симетрій. Чому симетрія приємна для очей? Мабуть тому, що симетрія панує у природі. З народження людина звикає до білатерально симетричних рідних йому людей, комах, птахів, риб, тварин.
Небесна симетрія
- Щозиму на землю падають міріади снігових кристалів. Їхня холодна досконалість і абсолютна симетрія вражає. Навіть дорослі під час снігопаду захоплено, як у дитинстві, піднімають обличчя до неба, ловлять великі сніжинки і заворожено розглядають кристали, що приземлилися на долоню. Серед сніжинок зустрічаються «пластинки», «піраміди», «стовпчики», «голки», «стели» і "кулі", прості або складні "зірочки" з сильно розгалуженими променями - їх ще називають дендрити.
- Гляціологи – вчені, які вивчають форми, склад та будову льоду, стверджують, що кожен сніговий кристал унікальний. Проте всі сніжинки мають і загальну рису – вони мають гексагональну симетрію. Тому у «зірочок» завжди виростають три, шість чи дванадцять променів. Найрідкісніша дванадцятикінцева «зірочка» народжується в грозових хмарах.
- Перші систематичні дослідження снігових кристалів розпочав у 1930-х роках японський фізик Укіхіро Накайя. Він виділив 41 тип сніжинок і становив першу класифікацію. Крім того, вчений виростив першу «штучну» сніжинку і з'ясував, що величина і форма кристалів льоду, що утворюються, залежить від температури повітря і вологості.
Паліндроми
Симетрію можна побачити і в цілих словах, таких, як козак, курінь - вони читаються однаково як зліва направо, так і праворуч наліво. А ось цілі фрази з такою властивістю (якщо не враховувати прогалини між словами): «Шукати таксі»,
«Аргентина манить негра»,
«Цінить негра аргентинець»,
«Лішачи на полиці клопа знайшов»,
«А в Єнісеї – синьова»,
«Місто доріг»,
«Don't nod (Не кивай)».
Такі фрази та слова називаються паліндромами.
Малюнки, виконані учнями
Симетрія є однією з найбільш фундаментальних та однією з найбільш загальних закономірностей світобудови: неживої, живої природи та суспільства. З симетрією ми зустрічаємось усюди. Поняття симетрії проходить через усю багатовікову історію людської творчості. Воно зустрічається вже біля джерел людського знання; його широко використовують усі без винятку напрямки сучасної науки.
Симетрія присутня скрізь: у регулярності зміни дня і ночі, пори року, у ритмічному побудові вірша, практично там, де є якась упорядкованість і регулярність.
Існує безліч видів симетрії як у рослинному, так і в тваринному світі, але при всьому різноманітті живих організмів принцип симетрії діє завжди, і цей факт ще раз підкреслює гармонійність нашого світу.
Зміст Центральна симетрія Центральна симетрія Центральна симетрія Центральна симетрія Завдання ЗавданняЗавдання Побудова Побудова Побудова Центральна симетрія в навколишньому світі Центральна симетрія в навколишньому світі Центральна симетрія в навколишньому світі Висновок Висновок Висновок
Завдання 1. Відрізок АВ, перпендикулярний до прямої с, перетинає її в точці Про так, що АООВ. Чи симетричні точки А та В щодо точки О? 2. Чи мають центр симетрії: а) відрізок; б) промінь; в) пара прямих, що перетинаються; г) квадрат? 3. Побудуйте кут, симетричний куту ABC щодо центру О. Перевір себе
5. Для кожного з випадків, представлених на малюнку, побудуйте точки А 1 і В 1, симетричні точкам А і В щодо точки О. В А А В АВ О О О С МР 4. Побудуйте прямі, на які відображаються прямі a і b при центральній симетрії з центром О. Перевір себе Допомога
7. Побудуйте довільний трикутник та його образ щодо точки перетину його висот. 8. Відрізки АВ та А 1 В 1 центрально симетричні щодо деякого центру С. Побудуйте за допомогою однієї лінійки образ точки М при цій симетрії. А А1А1 В1В1 М 9. Знайти на прямих a і b точки, симетричні щодо одне одного. a b O Перевір себе Допомога
Висновок Симетрію можна знайти майже скрізь, якщо знати, як її шукати. Багато народів з найдавніших часів володіли уявленням про симетрію в широкому значенні – як про врівноваженість та гармонію. Творчість людей у всіх своїх проявах тяжіє до симетрії. За допомогою симетрії людина завжди намагалася, за словами німецького математика Германа Вейля, «осягнути і створити порядок, красу та досконалість».
Завантаження...
