Koostage antud valemi abil otsese proportsionaalsuse graafik. Otsene proportsionaalsus ja selle graafik. Otsese proportsionaalsuse funktsiooni $f(x)=kx$ ja selle graafiku uurimine

Kuidas luua otsese proportsionaalsuse graafikuid?

Joonistage otseproportsionaalsuse graafik valemiga y = 3x

Lahendus.

Funktsioon y = 3x on defineeritud tervel arvureal. cm.

Võtame x mis tahes väärtuse, olgu see 1 ja leiame y, asendades x väärtusega 1 valemis y = 3x

Y=3x=
3 * 1 = 3

see tähendab, et x = 1 korral saame y = 3. Nende koordinaatidega punkt kuulub funktsiooni y = 3x graafikule.

Teame, et otsese proportsionaalsuse graafik on sirgjoon ja sirge on määratletud kahe punktiga.

Leidsime just ühe neist ja teine ​​otsese proportsionaalsuse jaoks on alati päritolu.

Nüüd oleme valmis joonistama funktsiooni y = 3x.

Koordinaatide tasapinnal märgime punkti koordinaatidega (1; 3).

Joonistage sirgjoon läbi selle punkti ja koordinaatide alguspunkti

Saime valemiga y = 3x antud otsese proportsionaalsuse graafiku.

Leia graafikult y väärtus, mis vastab väärtusele x = 2.

Leidke punkt 2 x-teljel.

Tõmmake läbi selle vertikaalne joon, kuni see ristub graafikuga.

Joonistame mängijate teljele horisontaalse joone. Y-teljel läheme punkti 6.

6 on y väärtus, mis vastab väärtusele x = 2.

Koostame valemiga antud funktsiooni graafiku y = 0,5x.

1. Selle funktsiooni domeen on kõigi arvude hulk.

2. Leiame mõned muutujate vastavad väärtused X Ja juures.

Kui x = -4, siis y = -2.
Kui x = -3, siis y = -1,5.
Kui x = -2, siis y = -1.
Kui x = -1, siis y = -0,5.
Kui x = 0, siis y = 0.
Kui x = 1, siis y = 0,5.
Kui x = 2, siis y = 1.
Kui x = 3, siis y = 1,5.
Kui x = 4, siis y = 2.

3. Märgime koordinaattasandil punktid, mille koordinaadid määrasime sammus 2. Pange tähele, et konstrueeritud punktid kuuluvad kindlale sirgele.

4. Teeme kindlaks, kas sellele reale kuuluvad funktsioonigraafiku teised punktid. Selleks leiame graafikult veel mitme punkti koordinaadid.

Kui x = -3,5, siis y = -1,75.
Kui x = -2,5, siis y = -1,25.
Kui x = -1,5, siis y = -0,75.
Kui x = -0,5, siis y = -0,25.
Kui x = 0,5, siis y = 0,25.
Kui x = 1,5, siis y = 0,75.
Kui x = 2,5, siis y = 1,25.
Kui x = 3,5, siis y = 1,75.

Olles konstrueerinud funktsiooni graafikule uued punktid, märkame, et need kuuluvad samale reale.

Kui vähendame oma väärtuste astet (võtke näiteks väärtused X läbi 0,1; läbi 0,01 jne), saame lohistamisest teised samale reale kuuluvad ja üksteisele üha lähemal asuvad graafikupunktid. Antud funktsiooni graafiku kõigi punktide hulk on alguspunkti läbiv sirgjoon.

Seega valemiga antud funktsiooni graafik y = khx, kus k ≠ 0, on alguspunkti läbiv sirgjoon.

Kui valemiga antud funktsiooni määratluspiirkond y = khx, kus k ≠ 0, ei koosne kõigist arvudest, siis on selle graafik joone punktide alamhulk (näiteks kiir, lõik, üksikud punktid).

Sirge konstrueerimiseks piisab selle kahe punkti asukoha teadmisest. Seetõttu saab kõigi arvude hulgal defineeritud otsese proportsionaalsuse graafiku koostada, kasutades selle mis tahes kahte punkti (üheks neist on mugav võtta koordinaatide alguspunkt).

Olgu näiteks, et soovite joonistada valemiga antud funktsiooni y = -1,5x. Valime mingi väärtuse X, pole võrdne 0 ja arvutage vastav väärtus juures.

Kui x = 2, siis y = -3.

Märgime koordinaatidega punkti koordinaattasandil (2; -3) . Tõmbame läbi selle punkti ja alguspunkti sirge. See sirgjoon on soovitud graafik.

Selle näite põhjal saab seda tõestada Iga sirge, mis läbib koordinaatide alguspunkti ja ei lange kokku telgedega, on otsese proportsionaalsuse graafik.

Tõestus.

Olgu antud kindel sirge, mis läbib koordinaatide alguspunkti ja ei lange kokku telgedega. Võtame selle punkti abstsissiga 1. Tähistame selle punkti ordinaati k-ga. Ilmselgelt k ≠ 0. Tõestame, et see sirge on otsese proportsionaalsuse graafik koefitsiendiga k.

Tõepoolest, valemist y = kh järeldub, et kui x = 0, siis y = 0, kui x = 1, siis y = k, s.o. valemiga y = kх antud funktsiooni graafik, kus k ≠ 0, on punkte (0; 0) ja (1; k) läbiv sirge.

Sest läbi kahe punkti saab tõmmata ainult ühe sirge, siis see sirge langeb kokku valemiga antud funktsiooni graafikuga y = khx, kus k ≠ 0, mida oli vaja tõestada.

veebilehel, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

7. ja 8. klassis õpitakse otsese proportsionaalsuse graafikut.

Kuidas koostada otsese proportsionaalsuse graafikut?

Vaatame näidete abil otsese proportsionaalsuse graafikut.

Otsese proportsionaalsuse graafiku valem

Otsese proportsionaalsuse graafik esindab funktsiooni.

Üldiselt on otsesel proportsionaalsusel valem

Otsese proportsionaalsuse graafiku kaldenurk x-telje suhtes sõltub otsese proportsionaalsuse koefitsiendi suurusest ja märgist.

Otsese proportsionaalsuse graafik läheb läbi

Otseproportsionaalsuse graafik läbib alguspunkti.

Otsese proportsionaalsuse graafik on sirgjoon. Sirge on määratletud kahe punktiga.

Seega piisab otsese proportsionaalsuse graafiku koostamisel kahe punkti asukoha määramisest.

Kuid me teame alati üht neist – see on koordinaatide päritolu.

Jääb üle vaid leida teine. Vaatame otseproportsionaalsuse graafiku koostamise näidet.

Graafika otsene proportsionaalsus y = 2x

Ülesanne .

Joonistage valemiga antud otsese proportsionaalsuse graafik

Lahendus.

Kõik numbrid on olemas.

Võtke suvaline arv otsese proportsionaalsuse valdkonnast, olgu selleks 1.

Leidke funktsiooni väärtus, kui x on võrdne 1-ga

Y=2x=
2 * 1 = 2

see tähendab, et x = 1 korral saame y = 2. Nende koordinaatidega punkt kuulub funktsiooni y = 2x graafikusse.

Teame, et otsese proportsionaalsuse graafik on sirgjoon ja sirge on määratletud kahe punktiga.

Otsese proportsionaalsuse määratlus

Alustuseks tuletagem meelde järgmist määratlust:

Definitsioon

Kaht suurust nimetatakse otseselt proportsionaalseks, kui nende suhe on võrdne konkreetse nullist erineva arvuga, see tähendab:

\[\frac(y)(x)=k\]

Siit näeme, et $y=kx$.

Definitsioon

Funktsiooni kujul $y=kx$ nimetatakse otseseks proportsionaalsuseks.

Otsene proportsionaalsus on lineaarfunktsiooni $y=kx+b$ erijuhtum $b=0$ korral. Arvu $k$ nimetatakse proportsionaalsuskoefitsiendiks.

Otsese proportsionaalsuse näide on Newtoni teine ​​seadus: keha kiirendus on otseselt võrdeline sellele rakendatava jõuga:

Siin on mass proportsionaalsuskoefitsient.

Otsese proportsionaalsuse funktsiooni $f(x)=kx$ ja selle graafiku uurimine

Esiteks kaaluge funktsiooni $f\left(x\right)=kx$, kus $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k>0$. Järelikult suureneb see funktsioon kogu määratluspiirkonna ulatuses. Ekstreemseid punkte pole.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Graafik (joonis 1).

Riis. 1. Funktsiooni $y=kx$ graafik $k>0$ jaoks

Nüüd kaaluge funktsiooni $f\left(x\right)=kx$, kus $k

1. Määratluspiirkond on kõik numbrid.
2. Väärtuste vahemik on kõik numbrid.
3. $f\left(-x\right)=-kx=-f(x)$. Otsese proportsionaalsuse funktsioon on paaritu.
4. Funktsioon läbib alguspunkti.
5. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
6. $f^("")\left(x\right)=k"=0$ Seetõttu pole funktsioonil käändepunkte.
7. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
8. Graafik (joonis 2).

Riis. 2. Funktsiooni $y=kx$ graafik $k juures

Tähtis: funktsiooni $y=kx$ graafiku joonistamiseks piisab, kui leida üks lähtepunktist erinev punkt $\left(x_0,\ y_0\right)$ ning tõmmata läbi selle punkti ja alguspunkti sirge.