Побудуйте графік прямої пропорційності заданою формулою. Пряма пропорційність та її графік. Дослідження функції прямої пропорційності $f(x)=kx$ та її графік

Як будувати графіки прямої пропорційності?

Побудуйте графік прямої пропорційності заданою формулою y = 3x

Рішення .

Функція y = 3x визначена на всій числовій прямій. Див.

Беремо будь-яке значення ікс, нехай це буде 1, і знаходимо ігрок, підставляючи ікс 1 у формулу y = 3x

Y = 3x =
3 * 1 = 3

тобто при x = 1 отримуємо y = 3. Крапка з цими координатами належить графіку функції y = 3x.

Ми знаємо, що графік прямої пропорційності є пряма, а пряма задається двома точками.

Одну з них ми тільки-но знайшли, а другою для прямої пропорційності завжди є початок координат.

Тепер ми готові збудувати графік функції y = 3x.

Зазначаємо на координатній площині точку з координатами (1; 3).

Через дану точку та початок координат проводимо пряму лінію

Ми одержали графік прямої пропорційності, заданої формулою y = 3x.

Знайдіть за графіком значення y, яке відповідає значенню x = 2.

Знаходимо на осі іксів точку 2.

Проводимо через неї вертикальну лінію до перетину з графіком.

Проводимо горизонтальну лінію до осі ігреків. На осі ігор виходимо на точку 6.

6 і є значення ігорок, що відповідає значенню x = 2.

Побудуємо графік функції, заданої формулою у = 0,5 х.

1. Область визначення цієї функції – безліч усіх чисел.

2. Знайдемо деякі відповідні значення змінних хі у.

Якщо х = -4, то у = -2.
Якщо х = -3, то у = -1,5.
Якщо х = -2, то у = -1.
Якщо х = –1, то у = –0,5.
Якщо x = 0, то у = 0.
Якщо x = 1, то у = 0,5.
Якщо x = 2, то у = 1.
Якщо x = 3, то у = 1,5.
Якщо x = 4, то у = 2.

3. Зазначимо у координатній площині точки, координати яких ми визначили у пункті 2. Зазначимо, що побудовані точки належать до деякої прямої.

4. Визначимо, чи цій прямій належать інші точки графіка функції. Для цього знайдемо координати ще кількох точок графіка.

Якщо х = -3,5 то у = -1,75.
Якщо х = -2,5, то у = -1,25.
Якщо x = -1,5, то у = -0,75.
Якщо х = –0,5, то у = –0,25.
Якщо x = 0,5, то у = 0,25.
Якщо x = 1,5, то у = 0,75.
Якщо x = 2,5, то у = 1,25.
Якщо x = 3,5, то у = 1,75.

Побудувавши нові точки графіка функції, помічаємо, що вони належать до тієї ж прямої.

Якщо ми зменшуватимемо крок наших значень (брати, наприклад, значення хчерез 0,1; через 0,01 і т.д.), ми будемо отримувати інші точки графіка, що належать тій же прямій і розташовані все ближче один від драга. Безліч всіх точок графіка цієї функції є пряма лінія, що проходить через початок координат.

Т.ч., графік функції, заданої формулою у = kх, де k ≠ 0,є пряма, яка проходить через початок координат.

Якщо область визначення функції, заданої формулою у = kх, де k ≠ 0,складається з усіх чисел, її графіком служить підмножина точок прямої (наприклад, промінь, відрізок, окремі точки).

Для побудови прямої достатньо знати положення двох її точок. Тому графік прямої пропорційності, заданої на безлічі всіх чисел, можна будувати за будь-якими двома його точками (як одна з них зручно брати початок координат).

Нехай, наприклад, потрібно побудувати графік функції, заданої формулою у = -1,5х. Виберемо якесь значення х, не рівне 0 , і обчислимо відповідне значення у.

Якщо x = 2, то у = -3.

Зазначимо на координатній площині точку з координатами (2; -3) . Через цю точку та початок координат проведемо пряму. Ця пряма – шуканий графік.

Грунтуючись на цьому прикладі, можна довести, що всяка пряма, яка проходить через початок координат і не збігається з осями, є графіком прямої пропорційності.

Доведення.

Нехай дана деяка пряма, яка проходить через початок координат і не збігається з осями. Візьмемо у ньому точку з абсцисою 1. Позначимо ординату цієї точки через k. Очевидно, що k ≠ 0. Доведемо, що ця пряма є графіком прямої пропорційності з коефіцієнтом k.

Справді, з формули у = kх випливає, що х = 0, то у = 0, якщо х = 1, то у = k, тобто. графік функції, заданої формулою у = kх, де k ≠ 0 є пряма, що проходить через точки (0; 0) і (1; k).

Т.к. через дві точки можна провести тільки одну пряму, то ця пряма збігається з графіком функції, заданою формулою у = kх, де k ≠ 0, що й потрібно було довести.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

У 7 та 8 класі вивчається графік прямої пропорційності.

Як побудувати графік прямої пропорційності?

Розглянемо на прикладах графік прямої пропорційності.

Графік прямої пропорційності формула

Графік прямої пропорційності представляє функцію.

У загальному вигляді пряма пропорційність має формулу

Від величини та знака коефіцієнта прямої пропорційності залежить кут нахилу графіка прямої пропорційності по відношенню до осі ікс.

Графік прямої пропорційності проходить

Графік прямої пропорційності проходить через початок координат.

Графік прямої пропорційності є прямою. Пряма задається двома точками.

Таким чином, при побудові графіка прямої пропорційності достатньо визначити положення двох точок.

Але одну з них ми завжди знаємо – це початок координат.

Залишилось знайти другу. Подивимося приклад побудови графіка прямої пропорційності.

Побудуйте графік прямої пропорційності y = 2x

Завдання.

Побудуйте графік прямої пропорційності, заданої формулою

Рішення .

Є усі числа.

Беремо будь-яке число в галузі визначення прямої пропорційності, нехай це буде 1.

Знайти значення функції при ікс 1

Y = 2x =
2 * 1 = 2

тобто при x = 1 отримуємо y = 2. Крапка з цими координатами належить графіку функції y = 2x.

Ми знаємо, що графік прямої пропорційності є пряма, а пряма задається двома точками.

Визначення прямої пропорційності

Для початку нагадаємо таке визначення:

Визначення

Дві величини називаються прямо пропорційними, якщо їх відношення дорівнює конкретному, відмінному від нуля числу, тобто:

\[\frac(y)(x)=k\]

Звідси бачимо, що $y=kx$.

Визначення

Функція виду $y=kx$ називається прямою пропорційністю.

Пряма пропорційність є окремим випадком лінійної функції $y=kx+b$ при $b=0$. Число $k$ називається коефіцієнтом пропорційності.

Прикладом прямої пропорційності може бути другий закон Ньютона.

Тут маса - коефіцієнт пропорційності.

Дослідження функції прямої пропорційності $f(x)=kx$ та її графік

Спочатку розглянемо функцію $f \ left (x \ right) = kx $, де $ k > 0 $.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k>0$. Отже, дана функція зростає по всій області визначення. Точок екстремуму немає.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Графік (рис. 1).

Мал. 1. Графік функції $y=kx$, за $k>0$

Тепер розглянемо функцію $f\left(x\right)=kx$, де $k

1. Область визначення - усі числа.
2. Область значення - усі числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx=-f(x)$. Функція прямої пропорційності непарна.
4. Функція відбувається через початок координат.
5. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
6. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Отже, функція не має точок перегину.
7. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
8. Графік (рис. 2).

Мал. 2. Графік функції $y=kx$, за $k

Важливо: для побудови графіка функції $ y = kx $ достатньо знайти одну, відмінну від початку координат точку $ \ left (x_0, \ y_0 \ right) $ і провести пряму через цю точку і початок координат.