تدفقات بواسون للأحداث وسلاسل ماركوف المستمرة. النمذجة وفقا لمخطط عمليات ماركوف العشوائية مخطط الموت والتكاثر

ويتم التعبير عن متوسط ​​عدد القنوات المشغولة من خلال هذه الاحتمالات

=ص 1 + 2ص 2 +…+ن(ف ن +ف ن+ 1 +…+ف)أو

= ف 1 + 2ص 2 +…+(ن- 1)ع ن- 1 +ن( 1-ص 0 -ص 1 -…-صن-1 ).

باستخدام هذا نجد الإنتاجية المطلقة للنظام:

وكذلك متوسط ​​عدد التطبيقات في النظام

م=س- =س- .

مثال 1. يتلقى إدخال QS ثلاثي القنوات مع حالات الفشل تدفقًا من الطلبات بكثافة = 4 طلبات في الدقيقة، الوقت اللازم لخدمة الطلب من خلال قناة واحدة ر obs =1/μ =0.5 دقيقة. من وجهة نظر قدرة QS، هل من المربح إجبار القنوات الثلاث على تلبية طلبات الخدمة مرة واحدة، وتقليل متوسط ​​وقت الخدمة ثلاث مرات؟ كيف سيؤثر ذلك على متوسط ​​الوقت الذي يقضيه التطبيق في مدير التسويق (CMO)؟

حل.نجد احتمالية توقف نظام QS ثلاثي القنوات باستخدام الصيغة

ρ = /μ =4/2=2, ن=3,

ف 0 = = = 0,158.

يتم تحديد احتمال الفشل بواسطة الصيغة:

ف مفتوح = ص ن ==

صمفتوح = 0.21.

إنتاجية النظام النسبية:

R obsl = 1-R مفتوح 1-0,21=0,79.

الإنتاجية المطلقة للنظام:

أ= ف المهمة 3,16.

يتم تحديد متوسط ​​عدد القنوات المشغولة بواسطة الصيغة:

1.58 حصة القنوات التي تشغلها الخدمة،

س = 0,53.

يتم العثور على متوسط ​​الوقت الذي يبقى فيه التطبيق في QS على أنه احتمال قبول الطلب للخدمة، مضروبًا في متوسط ​​وقت الخدمة: تي سمو 0.395 دقيقة.

من خلال الجمع بين القنوات الثلاث في قناة واحدة، نحصل على نظام أحادي القناة مع المعلمات μ= 6, ρ= 2/3. بالنسبة لنظام أحادي القناة، يكون احتمال التوقف هو:

ر 0 = = =0,6,

احتمال الفشل:

ف مفتوح = ρ ص 0 = = 0,4,

الإنتاجية النسبية:

R obsl = 1-R مفتوح =0,6,

الإنتاجية المطلقة:

أ=فاوبس=2.4.

t SMO = P obsl= = 0.1 دقيقة.

ونتيجة لدمج القنوات في قناة واحدة، انخفض إنتاجية النظام مع زيادة احتمال الفشل. انخفض متوسط ​​الوقت الذي يقضيه التطبيق في النظام.

مثال 2. يتلقى إدخال QS ثلاثي القنوات مع قائمة انتظار غير محدودة تدفقًا من الطلبات بكثافة =4 طلبات في الساعة، متوسط ​​الوقت لخدمة تطبيق واحد ر=1/μ=0.5 h ابحث عن مؤشرات أداء النظام.

للنظام قيد النظر ن =3, =4، μ=1/0.5=2، ρ= /μ=2, ρ/ ن =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:

ف = .

ص 0 = =1/9.

نجد متوسط ​​عدد التطبيقات في قائمة الانتظار باستخدام الصيغة:

ل =.

ل = = .

نقوم بحساب متوسط ​​وقت انتظار التطبيق في قائمة الانتظار باستخدام الصيغة:

ر= = 0.22 ساعة.

متوسط ​​الوقت الذي يبقى فيه التطبيق في النظام:

تي=ر+ 0,22+0,5=0,72.

مثال 3. يوجد 3 حلاقين يعملون في صالون الحلاقة، ويوجد 3 كراسي في غرفة الانتظار. تدفق العملاء له كثافة = 12 عميل في الساعة. متوسط ​​وقت الخدمة ر obsl = 20 دقيقة. تحديد الإنتاجية النسبية والمطلقة للنظام، متوسط ​​عدد الكراسي المشغولة، متوسط ​​طول قائمة الانتظار، متوسط ​​الوقت الذي يقضيه العميل في مصفف الشعر.

لهذه المهمة ن =3, م =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/ن=4/3. يتم تحديد احتمال التوقف عن العمل بواسطة الصيغة:

ر 0 =.

ص 0 = 0,012.

يتم تحديد احتمالية رفض الخدمة بواسطة الصيغة

ف مفتوح = ف ن + م = .

ص يفتح =ص ن + م 0,307.

قدرة النظام النسبية، أي احتمال الخدمة:

المهمة P =1-ف مفتوح 1-0,307=0,693.

الإنتاجية المطلقة:

أ= ف المهمة 12 .

متوسط ​​عدد القنوات المزدحمة:

.

يتم تحديد متوسط ​​طول قائمة الانتظار بواسطة الصيغة:

ل =

ل= 1,56.

متوسط ​​وقت انتظار الخدمة في قائمة الانتظار:

ر= ح.

متوسط ​​عدد الطلبات المقدمة إلى كبير مسؤولي التسويق:

م = ل + .

متوسط ​​الوقت الذي يبقى فيه الطلب في مدير التسويق (CMO):

تي=م/ 0.36 ساعة

مثال 4. عامل يشغل 4 آلات. كل آلة تفشل بكثافة =0.5 الأعطال في الساعة، متوسط ​​وقت الإصلاح ر العينية=1/μ=0.8 ساعة تحديد إنتاجية النظام.

تعتبر هذه المشكلة QS مغلقة، μ =1.25، ρ=0.5/1.25=0.4. يتم تحديد احتمالية توقف العامل عن العمل بواسطة الصيغة:

ر 0 =.

ص 0 = .

احتمال توظيف العمال ر زان = 1-ف 0 . أ=( 1-ص 0 )μ =0.85μ آلات في الساعة.

مهمة:

يقوم عاملان بتشغيل مجموعة من أربع آلات. تحدث توقفات آلة العمل في المتوسط ​​بعد 30 دقيقة. متوسط ​​وقت الإعداد هو 15 دقيقة. يتم توزيع وقت التشغيل والإعداد وفقًا لقانون أسي.

أوجد متوسط ​​حصة وقت الفراغ لكل عامل ومتوسط ​​وقت تشغيل الجهاز.

ابحث عن نفس الخصائص للنظام الذي:

أ) يتم تخصيص جهازين لكل عامل؛

ب) يقوم عاملان دائمًا بخدمة الآلة معًا، وبكثافة مضاعفة؛

ج) تتم صيانة الآلة المعيبة الوحيدة من قبل كلا العاملين في وقت واحد (بكثافة مضاعفة)، وعندما تظهر آلة أخرى معيبة على الأقل، يبدأ كل منهما في العمل بشكل منفصل، حيث يخدم كل منهما آلة واحدة (قم أولاً بوصف النظام من حيث عمليات الموت والولادة).

حل:

الحالات التالية للنظام S ممكنة:

S 0 - جميع الآلات جاهزة للعمل؛

يتم إصلاح آلة S 1 – 1، والباقي في حالة عمل جيدة؛

يتم الآن إصلاح ماكينة S 2 – 2، والباقي يعمل بشكل جيد؛

ماكينة S 3 – 3 قيد الإصلاح، والباقي في حالة جيدة؛

يتم الآن إصلاح ماكينة S 4 – 4، والباقي في حالة عمل جيدة؛

ق 5 - (1، 2) يتم إصلاح الآلات، والباقي في حالة عمل جيدة؛

ق 6 - (1، 3) الآلات قيد الإصلاح، والباقي في حالة جيدة؛

ق 7 - (1، 4) يتم إصلاح الآلات، والباقي في حالة عمل جيدة؛

ق 8 - (2، 3) يتم إصلاح الآلات، والباقي في حالة عمل جيدة؛

ق 9 - يتم إصلاح (2، 4) آلات، والباقي في حالة عمل جيدة؛

د 10 - (3، 4) يتم إصلاح الآلات، والباقي في حالة عمل جيدة؛

ق 11 – (1، 2، 3) جاري إصلاح الآلات، 4 آلات قيد التشغيل؛

د 12 – (1، 2، 4) جاري إصلاح الآلات، 3 آلات قيد التشغيل؛

S 13 - يتم إصلاح الآلات (1، 3، 4)، والآلة 2 قيد التشغيل؛

S 14 - يتم إصلاح (2، 3، 4) ماكينة، ماكينة واحدة قيد التشغيل؛

س 15 – يتم تصليح كافة الآلات .

الرسم البياني لحالة النظام...

يعتبر هذا النظام S مثالاً للنظام المغلق، حيث أن كل آلة تعتبر متطلباً محتملاً، وتتحول إلى آلة حقيقية في لحظة تعطلها. أثناء عمل الآلة، تكون في كتلة التأخير، ومن لحظة الانهيار حتى نهاية الإصلاح، تكون في النظام نفسه. كل عامل هو قناة الخدمة.

إذا كان العامل مشغولاً، فإنه يقوم بإعداد μ-machines لكل وحدة زمنية، وسعة النظام:

إجابة:

متوسط ​​حصة وقت الفراغ لكل عامل هو ≈ 0.09.

متوسط ​​وقت تشغيل الماكينة ≈ 3.64.

أ) يتم تخصيص جهازين لكل عامل.

يتم تحديد احتمالية توقف العامل عن العمل بواسطة الصيغة:

احتمالية توظيف العمال:

إذا كان العامل مشغولاً، فإنه يقوم بإعداد μ-machines لكل وحدة زمنية، وسعة النظام:

إجابة:

متوسط ​​حصة وقت الفراغ لكل عامل هو ≈ 0.62.

متوسط ​​وقت تشغيل الماكينة ≈ 1.52.

ب) يعمل عاملان دائمًا على صيانة الماكينة معًا وبكثافة مضاعفة.

ج) تتم صيانة الآلة الوحيدة المعيبة من قبل كلا العاملين في وقت واحد (بكثافة مضاعفة)، وعندما تظهر آلة أخرى معيبة على الأقل، يبدأ كل منهما في العمل بشكل منفصل، حيث يخدم كل منهما آلة واحدة (قم أولاً بوصف النظام من حيث عمليات الموت والولادة).

مقارنة بين 5 إجابات:

ستكون الطريقة الأكثر فعالية لتنظيم العاملين في الآلات هي الإصدار الأولي للمهمة.

تمت مناقشة أمثلة على أبسط أنظمة الانتظار (QS) أعلاه. مصطلح "البروتوزوا" لا يعني "الابتدائية". النماذج الرياضية لهذه الأنظمة قابلة للتطبيق وتستخدم بنجاح في الحسابات العملية.

تتحدد إمكانية تطبيق نظرية القرار في أنظمة الانتظار من خلال العوامل التالية:

1. يجب أن يكون عدد التطبيقات في النظام (الذي يعتبر بمثابة QS) كبيرًا جدًا (بشكل هائل).

2. يجب أن تكون جميع الطلبات المستلمة عند مدخل QS من نفس النوع.

3. للحساب باستخدام الصيغ، عليك معرفة القوانين التي تحدد استلام الطلبات وكثافة معالجتها. علاوة على ذلك، يجب أن تكون تدفقات النظام بواسون.

4. هيكل QS، أي. يجب أن تكون مجموعة المتطلبات الواردة وتسلسل معالجة الطلب ثابتة بشكل صارم.

5. من الضروري استبعاد الموضوعات من النظام أو وصفها بأنها متطلبات ذات كثافة معالجة ثابتة.

إلى القيود المذكورة أعلاه، يمكننا إضافة قيد آخر، والذي له تأثير قوي على أبعاد النموذج الرياضي وتعقيده.

6. يجب أن يكون عدد الأولويات المستخدمة في حده الأدنى. يجب أن تكون أولويات التطبيقات ثابتة، أي. ولا يمكن تغييرها أثناء المعالجة داخل QS.

في سياق العمل، تم تحقيق الهدف الرئيسي - تمت دراسة المادة الرئيسية لـ "QS مع وقت انتظار محدود" و"QS مغلق"، والتي حددها مدرس الانضباط الأكاديمي. تعرفنا أيضًا على تطبيق المعرفة المكتسبة عمليًا، أي. توحيد المواد المغطاة.

1) http://www.5ballov.ru.

2) http://www.studentport.ru.

3) http://vse5ki.ru.

4) http://الثورة..

5) فومين ج.ب. الأساليب والنماذج الرياضية في الأنشطة التجارية. م: المالية والإحصاء، 2001.

6) جمورمان ف. نظرية الاحتمالية والإحصاء الرياضي. م: الثانوية العامة 2001.

7) سوفيتوف بي إيه، ياكوفليف إس إيه. نمذجة النظم. م: الثانوية العامة، 1985.

8) ليفشيتس أ.ل. النمذجة الإحصائية لQS. م، 1978.

9) فنتزل إ.س. بحوث العمليات. م: ناوكا، 1980.

10) فينتزل إي.إس.، أوفتشاروف إل.إيه. نظرية الاحتمالية وتطبيقاتها الهندسية. م: ناوكا، 1988.

تيارات الأحداث هي سلسلة من الأحداث التي تحدث الواحدة تلو الأخرى في فترات زمنية معينة. T هو متوسط ​​الوقت بين الأحداث المتجاورة. إذا كانت T=const، فسيتم توزيع الأحداث في الدفق بالتساوي. - شدة التدفق، أي متوسط ​​عدد الأحداث التي تحدث في وحدة الزمن.

تدفقات الأحداث ثابتة عدد الأحداث التي تقع على أي فاصل زمني عشوائي لا يعتمد على الموضع على المحور العددي، بل يعتمد فقط على عرضه لا يوجد تأثير لاحق لأي فترتين زمنيتين غير متداخلتين، عدد الأحداث التي تقع على إحداهما لا يعتمد على عدد الأحداث التي وقعت في فترة زمنية مختلفة بشكل منتظم مقابل التدفق بدون تأثير لاحق (مع تأثير لاحق)

تدفقات الأحداث العادية في أي لحظة من الزمن، يقع حدث واحد فقط، أي أن احتمال وقوع حدثين أو أكثر في فترة زمنية متناهية الصغر لا يكاد يذكر مقارنة باحتمال وقوع حدث واحد بواسون غير ثابت، التدفق العادي بدون تأثير لاحق أبسط تدفق عادي، تدفق عادي بدون تأثير لاحق، حيث يتم توزيع عدد الأحداث التي تظهر خلال فترة زمنية وفقًا لقانون بواسون، وتتميز الفواصل الزمنية بين حدثين متتاليين بالتوزيع الأسي. هذا هو تدفق بواسون ثابت.

التطبيق الاقتصادي تتضمن العمليات المالية والمصرفية الحديثة سداد الديون على أقساط وتلقي الدخل من الاستثمارات بشكل دوري. يمكن أن يسمى هذا النوع من التسلسل، أو سلسلة الدفعات، بتدفق الدفع. يُطلق على تدفق المدفوعات التي تكون فيها جميع الأعضاء قيم موجبة، وتكون الفترات الزمنية بين الدفعات متساوية، اسم الإيجار المالي. الإيجار هو تسلسل تلقي الفوائد على السندات، ومدفوعات القرض الاستهلاكي، ومدفوعات أقساط التأمين. خصائص تدفق الدفع: الفاصل الزمني بين دفعتين متجاورتين، واحتمال دفع الدفع، يستخدم على نطاق واسع في الحسابات المالية المختلفة. وبدونها، يكون من المستحيل وضع خطة لسداد الديون بشكل متسق، أو قياس الفعالية المالية للمشروع، أو إجراء مقارنات أو تغييرات تعادلية في شروط العقد.

المشكلة لتحليل التغيرات مع مرور الوقت في حجم الصندوق الحالي للبنك الذي يقوم بإصدار قروض طويلة الأجل، من المهم الحصول على معلومات حول عملية تلقي دفعات القروض للبنك. أظهرت مراقبة البنك في الفترة السابقة أن عدد الدفعات التي يتلقاها البنك لأي فترة زمنية لا يعتمد على النقطة الزمنية التي بدأ منها العد التنازلي للفترة الزمنية، بل يعتمد فقط على مدتها. العدد المتوقع للدفعات للبنك في الأسبوع هو 2. دعونا نتفحص احتمال تلقي البنك 7 دفعات شهريًا ونجد احتمال أن يكون الفاصل الزمني بين دفعتين متجاورتين أقل من يومين.

الحل وفقا لظروف المشكلة يمكن اعتبار تدفق الدفع هو الأبسط بكثافة = 2 (في الأسبوع). ولذلك، فإن عدد الدفعات المستلمة خلال فترة زمنية = 4 أسابيع (شهر واحد) يتم توزيعها وفقًا لقانون بواسون. الفترات الزمنية بين دفعتين متتاليتين في أبسط تدفق لها قانون التوزيع الأسي.

الحل دع X() يكون متغيرًا عشوائيًا منفصلاً يمثل عدد الدفعات المستلمة خلال فترة زمنية. ويتم توزيعها وفقا لقانون بواسون. M(X)=D(X)= إذن - احتمال حدوث أحداث m بالضبط في التدفق خلال فترة زمنية يساوي لذلك، مع شدة تدفق الدفع =2، يكون احتمال حصول البنك على 7 الدفعات الشهرية (=4) (م=7 ) تساوي

الحل دع المتغير العشوائي المستمر T هو الفاصل الزمني بين أي دفعتين متجاورتين (أحداث التدفق الأبسط). لديها قانون التوزيع الأسي. M(T)=1/ , D(T)=1/ 2 ثم الاحتمال P(T

مشاكل للحل المستقل 1. عادة يصل الطالب إلى محطة الحافلات في تمام الساعة 8 صباحًا، وبعد أن استقل الحافلة الأولى التي تصل متجهة إلى الجامعة، يصل في الوقت المحدد للفصول الدراسية التي تبدأ بالضبط في تمام الساعة 9 صباحًا. تستغرق الفترات الفاصلة بين الحافلات في المتوسط ​​10 دقائق، وتبلغ مدة السفر بالحافلة 30 دقيقة. دع تدفق الحافلة يكون أبسط. أوجد احتمال أن يظل الطالب متأخرًا عن الفصل.

مشاكل للحل المستقل 2. يتم تصميم تدفق الطلبات التي تدخل نظام انتظار معين بشكل كافٍ من خلال أبسطها. عند دراسة البيانات التجريبية، تم أخذ 200 فترة زمنية تم اختيارها عشوائياً مدتها دقيقتين في الاعتبار. اتضح أن عدد الطلبات التي لم يتم تسجيل أي طلب فيها كان 27. أوجد التوقع الرياضي والانحراف المعياري لعدد الطلبات في ساعة واحدة.

المفاهيم الأساسية نعني بالنظام S أي مجموعة متكاملة من العناصر المترابطة التي لا يمكن تقسيمها إلى مجموعات فرعية مستقلة. إذا قام النظام S بتغيير حالاته S(t) بشكل عشوائي مع مرور الوقت t، فيقال إن عملية عشوائية تحدث في النظام S. في أي لحظة من الزمن، يكون النظام في حالة واحدة فقط، أي أنه في أي لحظة من الزمن توجد حالة فريدة Si بحيث S(t) = Si. يمكن أن تكون مجموعة الحالات منفصلة (الحالة الفنية للكائن: صالح للخدمة - معيب، محمل - خامل؛ عدد الموظفين؛ عدد الكائنات المنتظرة في الطابور للخدمة) أو مستمرة (الدخل، حجم الإنتاج).

المفاهيم الأساسية في حالة وجود مجموعة منفصلة من الحالات، يقوم النظام بتغيير حالاته بشكل مفاجئ (فوريًا). في حالة وجود مجموعة مستمرة من الحالات، يحدث انتقال النظام بشكل مستمر (سلس). اعتمادًا على الوقت الذي يبقى فيه النظام في كل حالة، يتم تمييز العمليات ذات الوقت المنفصل (شبكة زمنية رقمية مصطنعة) والوقت المستمر (الوقت الفعلي، يمكن أن يحدث انتقال النظام من حالة إلى أخرى في أي وقت). تسمى العملية العشوائية التي تحدث في النظام S ماركوفيان إذا كانت لها خاصية عدم وجود عواقب، وتتكون من حقيقة أنه لكل لحظة من الزمن t 0 احتمال أي حالة S(t) للنظام S في المستقبل (في t>t 0) يعتمد فقط على حالته S(t 0) في الوقت الحاضر (عند t=t 0) ولا يعتمد على كيفية ومدة تطور هذه العملية في الماضي (عند t>t 0).

أ.أ.ماركوف (1856 - 1922) أندريه أندريفيتش ماركوف - الأب - هو عالم رياضيات روسي بارز طور أسس نظرية العمليات العشوائية دون آثار لاحقة، والتي تسمى في الرياضيات بعمليات ماركوف تكريما له. يُعرف أيضًا السيد إيه إيه ماركوف بأنه قدم مبررًا احتماليًا لطريقة المربعات الصغرى (LSM)، حيث قدم أحد أدلة نظرية الحد لنظرية الاحتمالات، وأكثر من ذلك بكثير.

أنواع عمليات ماركوف الحالات المنفصلة والزمن المنفصل (سلسلة ماركوف) الحالات المستمرة والزمن المنفصل (متتابعات ماركوف) الحالات المنفصلة والزمن المستمر (سلسلة ماركوف المستمرة) الحالات المستمرة والزمن المستمر. من الناحية العملية، يتم وصف معظم مشاكل عملية ماركوف باستخدام سلاسل ماركوف الزمنية المنفصلة أو المستمرة.

سلاسل ماركوف سلسلة ماركوف هي سلسلة من الأحداث العشوائية التي يعتمد فيها احتمال كل حدث فقط على الحالة التي تقع فيها العملية حاليًا ولا يعتمد على الحالات السابقة.

تعريف سلسلة ماركوف بمجموعة الحالات S = (s 1, ..., sn) الحدث هو الانتقال من حالة إلى أخرى نتيجة اختبار عشوائي بمتجه الاحتمالات الأولية (التوزيع الأولي) p (0) = (p(0)(1), ... , p(0)(n)))، والذي يحدد الاحتمال p(0)(i) أنه في الوقت الأولي t = 0 كانت العملية في مصفوفة الحالة si لاحتمالات الانتقال P = (pij)، التي تميز احتمالية انتقال العملية من الحالة الحالية si إلى الحالة التالية sj، في حين أن مجموع احتمالات التحولات من حالة واحدة يساوي 1

أنواع سلاسل ماركوف تسمى سلسلة ماركوف متجانسة إذا كانت احتمالات الانتقال لا تعتمد على الزمن، أي أنها لا تتغير من الخطوة k إلى الخطوة (k+1). تحتوي سلاسل ماركوف القابلة للتحلل على حالات غير قابلة للإلغاء تسمى الحالات الممتصة. من المستحيل الانتقال من حالة الاستيعاب إلى أي حالة أخرى. في الرسم البياني، تتوافق حالة الامتصاص مع قمة لا يخرج منها أي قوس. يتم وصف سلاسل ماركوف Ergodic بواسطة رسم بياني مرتبط بقوة. في مثل هذا النظام، يكون الانتقال من أي حالة إلى أي حالة ممكنًا في عدد محدود من الخطوات.

الغرض من المحاكاة هو تحديد احتمالية وجود النظام في الحالة j بعد الخطوة k. دعنا نشير إلى هذا الاحتمال - سلسلة ماركوف المتجانسة - سلسلة ماركوف غير المتجانسة

المهمة رقم 1: تنقسم مجموعة معينة من الأسر العاملة إلى ثلاث مجموعات: 1- الأسر التي لا تملك سيارة ولا تنوي شراء واحدة؛ 2- العائلات التي لا تملك سيارة، ولكنها تخطط لشراء واحدة، وأخيراً 3- العائلات التي لديها سيارة. أتاحت المسوحات الإحصائية تقدير احتمالية انتقال الأسر من مجموعة إلى أخرى على مدار العام. في هذه الحالة، تبين أن مصفوفة الانتقال هي:

المهمة رقم 1 ابحث عن: أ) احتمال أن تكون الأسرة التي ليس لديها سيارة ولا تنوي شراء واحدة في نفس الوضع خلال عامين؛ ب) احتمال أن تمتلك الأسرة التي لا تملك سيارة وتنوي شراء واحدة سيارة خلال عامين. (حل النقطة (ب) من هذه المشكلة بنفسك)

حل المشكلة رقم 1 أ) بالنظر إلى: أي متجه الاحتمالات الأولية p(0) = (1، 0، 0) (الآن النظام في الحالة 1) ابحث عن: (خلال عامين في الحالة 1) أوجد احتمال وجود النظام في كل حالة بعد سنة واحدة (ضرب متجه الاحتمالات الأولية في عمود واحد من مصفوفة احتمالات الانتقال) (ضرب متجه الاحتمالات الأولية في عمودين من مصفوفة احتمالات الانتقال) (ضرب المتجه من الاحتمالات الأولية بواسطة 3 أعمدة من مصفوفة احتمالات الانتقال)

حل المشكلة رقم 1 لنحصل على متجه الاحتمالات بعد سنة واحدة، في حالتنا، هذا هو الصف الأول من مصفوفة احتمالات الانتقال، دعنا نوجد احتمال أن يكون النظام في الحالة 1 بعد عامين (ضرب المتجه من الاحتمالات بعد سنة واحدة، أي الصف الأول من مصفوفة احتمالات الانتقال إلى العمود الأول من مصفوفة احتمالات الانتقال)

حل المشكلة رقم 1 الحسابات: الإجابة: احتمال أن تكون الأسرة التي ليس لديها سيارة ولا تنوي شراء واحدة في نفس الوضع خلال عامين هو 0.64

المشكلة رقم 2 لنفترض أن شركة معينة تقوم بتسليم المعدات في جميع أنحاء موسكو: إلى المنطقة الشمالية (المشار إليها بالرمز A)، والجنوب (B) والوسطى (C). لدى الشركة فريق من السعاة الذين يخدمون هذه المناطق. من الواضح أنه لإجراء عملية التسليم التالية، يذهب الساعي إلى المنطقة الأقرب إليه حاليًا. تم تحديد ما يلي إحصائيًا: بعد الولادة إلى A، يتم إجراء الولادة التالية في 30 حالة في A، وفي 30 حالة في B، وفي 40 حالة في C؛ بعد التسليم إلى B، يتم إجراء التسليم التالي في 40 حالة في A، وفي 40 حالة في B، وفي 20 حالة في C؛ بعد إجراء التسليم إلى C، يتم إجراء التسليم التالي في 50 حالة في A، وفي 30 حالة في B، وفي 20 حالة في C. وبالتالي، يتم تحديد منطقة التسليم التالية فقط من خلال التسليم السابق.

المشكلة رقم 2 إذا بدأ الساعي من المنطقة الوسطى، فما هو احتمال أن يكون في المنطقة الجنوبية بعد إجراء توصيلتين؟ حل المشكلة بنفسك: قم بإنشاء مصفوفة لاحتمالات الانتقال ارسم رسمًا بيانيًا لهذه العملية احسب الاحتمال المطلوب

احتمالات الحد بالنسبة للسلاسل الإرغودية، مع وقت تشغيل كبير بما فيه الكفاية (t يميل إلى اللانهاية)، يبدأ نظام ثابت، حيث لا تعتمد احتمالات حالات النظام على الوقت ولا تعتمد على توزيع الاحتمال في الوقت الأولي . تسمى هذه الاحتمالات باحتمالات الحالة المحددة (أو النهائية، الثابتة)؛ فهي تظهر متوسط ​​الوقت النسبي الذي يبقى فيه النظام في حالة معينة. على سبيل المثال، إذا كان الاحتمال الهامشي للحالة i هو pi=0. 5، وهذا يعني أنه في المتوسط ​​نصف الوقت الذي يكون فيه النظام في الحالة i.

احتمالات الحد دع xi هو احتمالات الحد (i=1. . n)، حيث n هو عدد الحالات. ثم xi هي الحل الوحيد لنظام المعادلات الخطية. يتضمن هذا النظام المعادلات:

مثال لمصفوفة احتمالات الانتقال (عدد الحالات n=2) والتمثيل الرسومي لعملية ماركوف: يمكن العثور على الاحتمالات الحدية x 1 وx 2 عن طريق حل النظام

المشكلة رقم 3: تم استئجار سيارتين A وB بنفس السعر. تحتوي هذه الآلات على مصفوفات احتمالية الانتقال التالية: حيث 1 هي الحالة التي تعمل فيها الآلة بشكل جيد؛ 2 - الحالة عندما يحتاج الجهاز إلى التعديل. تحديد الاحتمالات لكلا الجهازين. ما السيارة التي يجب أن تستأجرها؟

المهمة رقم 4 زائر البنك بقصد الحصول على قرض يخضع لعدد من الشيكات (الشروط): هـ 1 - الأوراق؛ ه 2 - التاريخ الائتماني؛ ه 3 – التكرار. ه 4 – الملاءة المالية. وبناء على نتائج الشيك، هناك نتيجتان محتملتان: رفض إصدار القرض (هـ 6) واستلام القرض (هـ 5).

المهمة رقم 4 المطلوبة: أ) وصف هذه العملية على أنها سلسلة ماركوف وإنشاء مصفوفة انتقالية (افعلها بنفسك)؛ ب) ابحث عن متوسط ​​الوقت للحصول على نتيجة إيجابية وسلبية (الحل في Excel).

عملية QS هي عملية عشوائية. تُفهم العملية العشوائية (الاحتمالية أو العشوائية) على أنها عملية تغيير حالة النظام بمرور الوقت وفقًا للقوانين الاحتمالية.

تسمى العملية عملية ذات حالات منفصلة إذا كان من الممكن إدراج حالاتها المحتملة S1، S2، S3... مقدمًا، وتحدث انتقالات النظام من حالة إلى حالة على الفور (القفز). تسمى العملية عملية ذات وقت مستمر إذا لم تكن لحظات التحولات المحتملة للنظام من حالة إلى أخرى ثابتة مسبقًا، ولكنها عشوائية.

عملية تشغيل QS هي عملية عشوائية ذات حالات منفصلة ووقت مستمر.

تسمى العملية العشوائية ماركوف أو عملية عشوائية بدون عواقب إذا كانت الخصائص الاحتمالية للعملية في المستقبل، في أي لحظة من الزمن t0، تعتمد فقط على حالتها في لحظة معينة t0 ولا تعتمد على متى وكيف النظام جاء إلى هذه الحالة.

مثال على عملية ماركوف: النظام S هو عداد سيارات الأجرة. تتميز حالة النظام في اللحظة t بعدد الكيلومترات التي قطعتها السيارة حتى هذه اللحظة. دع العداد يظهر S0 في الوقت t0. احتمال أن يُظهر العداد في الوقت الحالي t>t0 هذا العدد أو ذاك من الكيلومترات (بتعبير أدق، العدد المقابل للروبلات) S1 يعتمد على S0، ولكنه لا يعتمد على النقاط الزمنية التي تغيرت فيها قراءات العداد قبل لحظة t0.

في بعض الحالات، يمكن ببساطة إهمال ما قبل التاريخ للعمليات قيد النظر ويمكن استخدام نماذج ماركوف لدراستها.

عند تحليل العمليات العشوائية ذات الحالات المنفصلة، ​​يكون من الملائم استخدام مخطط هندسي - ما يسمى بالرسم البياني للحالة. عادة، يتم تصوير حالات النظام بواسطة مستطيلات (دوائر)، ويتم تصوير التحولات المحتملة من حالة إلى أخرى بواسطة أسهم (أقواس موجهة) تربط الحالات (الشكل 1).

الشكل 1 - الرسم البياني للدولة

للحصول على وصف رياضي لعملية ماركوف العشوائية ذات الحالات المنفصلة والتدفق المستمر للوقت في QS، سنتعرف على أحد المفاهيم المهمة لنظرية الاحتمالات - مفهوم تدفق الأحداث.

يُفهم تدفق الأحداث على أنه سلسلة من الأحداث المتجانسة التي تتبع الواحدة تلو الأخرى في بعض اللحظات العشوائية من الزمن

يمكن أن تكون الأمثلة:

• - تدفق المكالمات في مقسم الهاتف؛
• - تدفق تشغيل الأجهزة في الشبكة الكهربائية المنزلية؛
• - تدفق قطارات الشحن القادمة إلى محطة السكة الحديد:
• - تدفق أعطال الكمبيوتر (الفشل)؛
• - سيل من الطلقات الموجهة نحو الهدف.

يتميز التدفق بالكثافة n - تكرار حدوث الأحداث أو متوسط ​​عدد الأحداث التي تدخل QS لكل وحدة زمنية.

يسمى تدفق الأحداث منتظمًا إذا كانت الأحداث تتبع بعضها البعض في فترات زمنية معينة. مثل هذا التدفق نادر نسبيًا في الممارسة العملية، ولكنه مثير للاهتمام كحالة متطرفة.

يسمى تدفق الأحداث ثابتًا إذا كانت خصائصه الاحتمالية لا تعتمد على الوقت. على وجه الخصوص، شدة التدفق الثابت هي قيمة ثابتة: .

يسمى تدفق الأحداث بالتدفق بدون تأثير لاحق، إذا كان عدد الأحداث التي تقع على أحدهما، بالنسبة لأي قسمين غير متداخلين من الزمن و_، لا يعتمد على عدد الأحداث التي تقع على الأجزاء الأخرى. على سبيل المثال، ليس لتدفق الركاب الذين يدخلون مترو الأنفاق أي تأثير تقريبًا. ولنفترض أن تدفق العملاء الذين يغادرون العداد مع المشتريات له عواقب بالفعل (على الأقل لأن الفاصل الزمني بين العملاء الأفراد لا يمكن أن يكون أقل من الحد الأدنى لوقت الخدمة لكل منهم).

يسمى تدفق الأحداث عاديًا إذا كان احتمال وقوع حدثين أو أكثر في فترة زمنية صغيرة (أولية) ضئيلًا مقارنة باحتمال وقوع حدث واحد. بمعنى آخر، يكون تدفق الأحداث أمرًا عاديًا إذا ظهرت الأحداث فيه منفردة وليس في مجموعات.

يقال إن تيار الأحداث هو أبسط (أو بواسون ثابت) إذا كان ثابتًا وعاديًا وبدون عواقب.

ينشأ أبسط تدفق كحد في نظرية العمليات العشوائية بشكل طبيعي كما هو الحال في نظرية الاحتمالية، ويتم الحصول على التوزيع الطبيعي عن طريق التراكب (التراكب) لعدد كبير بما فيه الكفاية n من التدفقات المستقلة والثابتة والعادية (قابلة لبعضها البعض في الكثافة)، والنتيجة هي تدفق قريب من الأبسط بكثافة l، يساوي مجموع شدة التدفقات الواردة:

دعونا ننظر إلى أبسط تدفق للأحداث على المحور الزمني كتسلسل غير محدود من النقاط العشوائية. (الصورة 2)

الشكل 2 - تدفق الأحداث

يمكن إثبات أنه بالنسبة لأبسط تدفق، يتم توزيع عدد m من الأحداث (النقاط) التي تقع على مقطع زمني عشوائي φ وفقًا لقانون بواسون

التي يكون فيها التوقع الرياضي للمتغير العشوائي مساوياً لتباينه:

على وجه الخصوص، فإن احتمال عدم وقوع أي حدث خلال الوقت φ (م = 0) يساوي

دعونا نجد توزيع الفاصل الزمني T بين حدثين متجاورين عشوائيين لأبسط تدفق.

وفقًا للصيغة، فإن احتمال عدم حدوث أي من الأحداث اللاحقة خلال فترة زمنية معينة يساوي

واحتمال الحدث المعاكس، أي. دالة التوزيع للمتغير العشوائي T هي

الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي هي مشتقة دالة التوزيع الخاصة به:

يسمى التوزيع الناتج عن كثافة الاحتمالية أو دالة التوزيع الأسي (أو الأسي). وبالتالي فإن الفاصل الزمني بين حدثين اعتباطيين متجاورين له توزيع أسي، حيث يكون التوقع الرياضي مساويا للانحراف المعياري للمتغير العشوائي

والعكس حسب شدة التدفق l .

الخاصية الأكثر أهمية للتوزيع الأسي (المتأصلة فقط في التوزيع الأسي) هي ما يلي: إذا كانت الفترة الزمنية الموزعة وفقًا للقانون الأسي قد استمرت بالفعل لبعض الوقت φ، فإن هذا لا يؤثر بأي شكل من الأشكال على قانون التوزيع للجزء المتبقي من الفترة (T-φ): سيكون هو نفسه، وكذلك قانون توزيع الفترة بأكملها T.

بمعنى آخر، بالنسبة للفاصل الزمني T بين حدثين متجاورين متتاليين لتدفق له توزيع أسي، فإن أي معلومات حول المدة التي استغرقها هذا الفاصل الزمني لا تؤثر على قانون التوزيع للجزء المتبقي.

بالنسبة لأبسط تدفق بكثافة l، فإن احتمال حدوث حدث تدفق واحد على الأقل في فترة زمنية أولية (صغيرة)؟t يساوي

نص

1 AN Moiseev AA Nazarov تحليل مقارب لتدفق شبه ماركوف عالي الكثافة 9 UDC 5987 AN Moiseev AA Nazarov تحليل مقارب لتدفق شبه ماركوف عالي الكثافة للأحداث دراسة لتدفق شبه ماركوف عالي الكثافة للأحداث هي لقد تبين أنه بالنسبة للتدفق قيد النظر، يمكن تقريب التوزيع الاحتمالي لعدد الأحداث التي تحدث خلال فترة زمنية محددة، مع مراعاة زيادة غير محدودة في شدة التدفق، من خلال التوزيع الطبيعي تم الحصول على هذا التوزيع في العمل الكلمات المفتاحية: التدفق عالي الكثافة للأحداث، التدفق شبه ماركوف، التحليل المقارب. أحد العناصر الأساسية لأنظمة وشبكات الانتظار هو التدفق الوارد للطلبات في شبكات الاتصالات الحديثة ومعالجة المعلومات الموزعة تتطلب الأنظمة إنتاجية عالية لقنوات نقل المعلومات، وبالتالي، في هذه الأنظمة، يكون عدد حزم البيانات التي تصل للمعالجة لكل وحدة زمنية مرتفعًا جدًا من حيث نظرية الطابور، وفي مثل هذه الحالات يتحدثون عن كثافة عالية من التدفق الوارد. على وجه الخصوص، في العمل، يتم استخدام نموذج التدفق عالي الكثافة لمحاكاة تدفق الرسائل الواردة لنظام معالجة البيانات الموزع متعدد المراحل. تمت دراسة الأعمال خصائص تدفقات MMPP- وMAP المتكررة عالية الكثافة تحليل خصائص التدفق شبه ماركوفي (شبه ماركوفي أو SM-) عالي الكثافة باعتباره النموذج الأكثر عمومية لتدفقات الأحداث نموذج رياضي ضع في اعتبارك تدفق شبه ماركوف للأحداث المتجانسة المحددة على النحو التالي Let (ξ n τ n ) عملية ماركوف الثابتة ثنائية الأبعاد ذات زمن منفصل هنا ξ n عبارة عن مكون منفصل يأخذ قيمًا من إلى K τ n وهو مكون مستمر يأخذ قيمًا غير سالبة ما يسمى بمصفوفة شبه ماركوف A (x) = ( Ak ν ) k ν= كما يلي K: x Akν (x) = P ξ n+ =ν τ n+< ξ n = k N Здесь N некоторая большая величина которая введена искусственно чтобы явным образом подчеркнуть малость величин τ n В теоретических исследованиях будем полагать N и таким образом τ n На практике полученные результаты можно использовать для аппроксимации соответствующих величин при достаточно больших значениях N (в условии высокой интенсивности потока) Пусть в момент времени t = произошло изменение состояния процесса {ξ n τ n } Последовательность моментов времени t n определяемая рекуррентным выражением tn+ = tn+τ n+ для n = называется полумарковским потоком случайных событий определяемым полумарковской матрицей A(x) Процесс ξ n =ξ(t n) называют вложенной в полумарковский поток цепью Маркова Поскольку средняя длина интервалов τ n обратно пропорциональна N то при N интенсивность наступления событий в таком потоке будет неограниченно расти Такой поток событий будем называть высокоинтенсивным полумарковским или HISM-потоком (от High-Intensive Semi- Markovian) Ставится задача нахождения числа событий m(t) наступивших в этом потоке в течение интервала времени (t) Вывод уравнений Колмогорова Пусть z(t) длина интервала времени от момента t до момента наступления следующего события в потоке; k(t) случайный процесс значения которого на каждом из интервалов = () Отсюда получаем матричное дифференциальное уравнение относительно функции R(z): R (z) = R ()[ I A (z) ] (3) граничное условие для которого при z имеет вид R () = λr (4) где λ некоторый коэффициент вектор-строка r есть стационарное распределение состояний вложенной цепи Маркова Этот вектор является решением уравнения Колмогорова r= r P где P= lim A (z) есть стохастическая матрица определяющая вероятности переходов вложенной цепи z Маркова Таким образом решение уравнения (3) имеет вид z R() z = R ()[ I A () x ] dx (5) Пусть R= R () есть стационарное распределение значений полумарковского процесса k(t) тогда при z из (5) получаем R= R ()[ I A(x) ] dx=λ r[ I A(x) ] dx=λr [ P A(x) ] dx=λra (6) где A матрица с элементами Akν = [ Pkν Akν(x) ] dx Умножая левую и правую части равенства (6) на единичный вектор-столбец E получим RE = =λrae откуда находим значение коэффициента λ: λ= (7) rae Доклады ТУСУРа 3 (9) сентябрь 3

3 AN Moiseev AA Nazarov تحليل مقارب لتدفق شبه ماركوف عالي الكثافة jum دعنا نقدم الترميز Hkuzt () = e Pkmzt () حيث j = وحدة وهمية وu عبارة عن متغير ما الضرب () بـ e jum والجمع على m من لنحصل على m= Hkuzt () Hkuzt ( ) Hku (t) K ju Hku (t) = + e Aν k (z) N ν= مع مراعاة تدوين متجه الصف H(u z t) = (H(u z t) H (K u z t)))، هذه المعادلة تأخذ الشكل H(uzt) H(uzt) H(u t) ju = + e A(z) I (8) N سوف نقوم بحل معادلة المصفوفة التفاضلية (8) بطريقة مقاربة بشرط زيادة الكثافة بشكل غير محدود πn لتدفق شبه ماركوف قيد النظر باعتباره N مقاربات من الدرجة الأولى دعونا نقدم الترميز N = ε u= ε w H(uzt) = F (wzt ε) من (8) نحصل عليه F(wzt ε) F(wzt ε) F(w t ε) jwε ε = + e A(z) I ( 9) نظرية الحل المقارب F(wzt) = lim F (wzt ε) للمعادلة (9) لديه النموذج ε () () jw lect F wzt = R ze t () حيث يتم تحديد R(z) بالتعبير (5) برهان لنفعل ذلك في (9) مروراً بالحد ε نحصل على المعادلة F(wzt) F(w t) = + [ A(z) I ] التي لها الصيغة المشابهة لـ () لذلك، يمكن تمثيل الدالة F (w z t) بالشكل F(wzt) = R (z) Φ(wt) () حيث Φ (w t) هي دالة عددية دعونا نمر إلى النهاية z في (9) ونجمع كل مكونات هذه المعادلة (للقيام بذلك، نضرب كلا الطرفين على اليمين بمتجه عمود الوحدة E) نحصل على F. (w t ε) F (w t ε) ε E= e P I E استبدل هنا التعبير () استخدم التوسع e = + jε w+ O(ε) قسّم كلا الجانبين على ε وقم بالتمرير إلى النهاية ε: Φ(wt) RE = jwr () PE Φ(wt) من حيث، مع الأخذ بعين الاعتبار (4)، نحصل على معادلة تفاضلية للدالة Φ (w t): Φ(wt) = jwlectφ (wt) حل هذه المعادلة في ظل الشرط الأولي Φ (w) ) = حصلنا على الحل jwlectt Φ (wt) = e بالتعويض بهذا التعبير في ( ) نحصل على () تم إثبات النظرية ju Nt الخطوط المقاربة من الدرجة الثانية دعونا نقوم بالاستبدال H(uzt) = H (uzte) α في (8) ): H(uzt) H(uzt) H(u t) ju + juλ H(u z t) = + e A(z) I () N دعونا نقدم الترميز N =ε u= ε w H(uzt) = F (wzt ε) (3) تقارير TUSUR 3 (9) 3 سبتمبر

4 هندسة الكمبيوتر الإدارية وعلوم المعلومات ثم () ستتم إعادة كتابتها بالشكل F(wzt ε) F(wzt ε) F(w t ε) ε + lectf (wzt ε) = + e A(z) I (4) نظرية الحل المقارب F( wzt) = lim F (wzt ε) المعادلة (4) لها الشكل ε (jw) F (wzt) = R (z)exp (κ+κ) t (5) حيث يتم تحديد R(z) بواسطة التعبير (5) κ= fe (6) متجه الصف f يرضي نظام المعادلات الجبرية الخطية f I P = lect rp R lect a (7) f AE= a = rae A = x da (x) إثبات دعنا ننتقل إلى الحد ε في (4) نحصل على المعادلة F(wzt) F(w t) = + [ A(z) I ] التي لها الشكل المشابه لـ () لذلك، يمكن تمثيل الدالة F (w z t) بالشكل F(wzt) ) = R (z) Φ(wt) (8) حيث Φ ( w t) بعض الوظائف العددية سيتم البحث عن حل المعادلة (4) في شكل التوسع F(wzt ε) =Φ (wt) R(z) + jε wf (z) + O(ε) (9) حيث f(z) هي بعض الوظائف المتجهة (سلسلة) استبدال هذا التعبير في (4) وتطبيق التوسع e = + jε w+ O(ε) بعد بعض التحولات نحصل على ( ) φ (wt) R() z=φ (wt) R() z+ f () z+ R() A() z I + R() A() z+ f () A() z I+ A () z + O(ε) مع مراعاة (3) (4) قسمة الطرفين على jεw وإلغاء Φ ( w t) نحصل على lect R(z) = f (z) + lect ra(z) + f () [ A(z) I ] + O(ε) من هنا، من أجل ε، نحصل على معادلة تفاضلية للدالة المتجهة غير المعروفة f(z) f ( z) = f ()[ I A(z) ] α[ ra( z) R (z) ] بالتكامل الذي في الشرط الأولي f() = نحصل على التعبير z f(z) = ( f ()[ I A(x) ] lect [ ra(x) R (x) ]) dx ( ) سوف نبحث عن f(z) في فئة الدوال التي تحقق الشرط lim ( f ()[ I A(x) ] α[ ra(x) R (x) ]) = x ومن هنا نحصل على f ()[ I P] lect[ rp R ] = () بطرح الجانب الأيسر من هذه المساواة من التكامل () مع الأخذ في الاعتبار (6) نحصل على f() = f () A+lectrA lect [ R R (x) ] dx () يمكن إثبات أن [ R R (x) ] dx= lectra حيث A = x da (x) مع أخذ ذلك في الاعتبار، بضرب كلا الجانبين () على اليمين بمتجه الوحدة E نحصل على تقارير TUSUR 3 (9) سبتمبر 3

5 AN Moiseev AA Nazarov تحليل مقارب لتدفق شبه ماركوف عالي الكثافة 3 lecta [ f () A f()] E = (3) حيث a = rae بافتراض أن f() E = وتدل على f = f () من () و (3) نحصل على نظام المعادلات (7) نمر إلى النهاية z في (4) ونضرب طرفي المعادلة بـ E على اليمين، نحصل على F(w t ε) F(w t ε) jw (w t) jw jw (w t) ε ε e F ε ε E+ ε lectf ε E= P I E= E (e) () 3 عوّض هنا (9) وطبق التوسيع e = + jε w+ + O(ε) ) نحصل على Φ(wt) (jεw) 3 ε RE+ lectφ (wt) RE = Φ (wt)[ R () + f ()] E jw ε + + O(ε) تقليل التخفيضات المماثلة بواسطة ε باستخدام التدوين (6 ) وبالتمرير إلى الحد عند ε نحصل على المعادلة التفاضلية التالية للوظيفة غير المعروفة Φ (w t): Φ(wt) (jw) = Φ(wt) (lect+κ) (jw) التي تحل في ظل الشرط الأولي Φ (w) = نحصل على Φ (wt) = exp (lect+κ) t باستبدال هذا التعبير في (8) نحصل على (5) تم إثبات النظرية تقريب توزيع عدد الأحداث التي تحدث في تدفق HISM إجراء التغييرات في (5) معكوس لـ (3) وبالعودة إلى الدالة H(u z t) نحصل على (ju) H(u z t) R (z)exp juκ Nt + (lect+κ) Nt وهكذا، فإن الدالة المميزة لعدد الأحداث التي تحدث في تدفق شبه ماركوف عالي الكثافة خلال الوقت t تفي بالعلاقة (ju) hut () = H(u t) E exp julect Nt+ (lect+κ) Nt أي، بالنسبة للقيم الكبيرة بما فيه الكفاية، توزيع N للرقم يمكن تقريب الأحداث التي تحدث في تدفق HISM خلال الوقت t من خلال التوزيع الطبيعي مع التوقع الرياضي nt والتباين ( + κ)nt حيث يتم تحديد  و κ بواسطة التعبيرات (7) و (6) النتائج العددية كمثال ل الحسابات العددية دعونا نفكر في مشكلة نمذجة الأحداث في تدفق شبه ماركوف عالي الكثافة المحدد بواسطة مصفوفة شبه ماركوف من الدرجة الثالثة A(x) مكتوبة بالشكل A(x) = P * G(x) حيث P هو مصفوفة عشوائية. G(x) عبارة عن مصفوفة مكونة من بعض وظائف التوزيع؛ العملية * منتج هادامارد للمصفوفات سنأخذ مثالا عندما تتوافق عناصر المصفوفة G(x) مع دوال توزيع جاما مع معلمات الشكل α kν والمقياس β kν k ν = 3، والتي سنمثلها في شكل مصفوفات α و β، على التوالي، سنختار قيم المعلمات المحددة التالية: P = 3 5 α = 5 4 β = نتيجة للحسابات، تم الحصول على قيم المعلمات التالية: 99؛ κ 96 بالنسبة لهذه المشكلة، تم إجراء محاكاة التدفق للقيم N = 3 وتم إنشاء توزيعات تجريبية لعدد الأحداث في فترات زمنية t = سلسلة من توزيعات البيانات التجريبية والتقديرات التقريبية المقابلة لـ N = و N = تم تقديمه بيانياً في الشكل. (بالنسبة لقيم N الأخرى، تتطابق الرسوم البيانية تقريبًا ولا يمكن تمييزها في الشكل) تقارير TUSUR 3 (9) 3 سبتمبر

6 4 4 هندسة الحاسوب الإدارية وعلوم المعلومات 5 8 N = N = الشكل مقارنة مضلع الترددات النسبية للتوزيع التجريبي () وسلسلة التوزيع التقريبية () لتقييم دقة تقريب التوزيع، سوف نستخدم مسافة كولموجوروف Dq = سوب Fq(x) F(x) هنا F q (x) دالة التوزيع التجريبية F(x) دالة x لتوزيع متغير عشوائي عادي بالخصائص الموجودة أعلاه ويوضح الجدول اعتماد الجودة من التقريب على القيمة N N δ الأخطاء النسبية في حساب الرياضيات a δ D D q 8% 6% 464 توقعات δ a والتباين δ D وكذلك مسافة Kolmogorov D q للحالات المدروسة 9% 7% % 5% الشكل المبين رسم بياني يوضح٪ 4٪ 44 الانخفاض في مسافة Kolmogorov بين التوزيعات التجريبية و 8٪ التحليلية (العادية) مع زيادة قيم N D q يمكنك ملاحظة أنه بالفعل عند 5 N > 3، جودة عالية بما فيه الكفاية من Gaussian تم تحقيق تقريب لعدد الأحداث في تدفق شبه ماركوف عالي الكثافة (لا تتجاوز مسافة Kolmogorov) 3 الشكل. التغيير في مسافة Kolmogorov D q اعتمادًا على شدة التدفق (المقياس اللوغاريتمي في N) N الاستنتاج يعرض العمل دراسة لتيار شبه ماركوف عالي الكثافة من الأحداث، وقد تبين أنه في ظل حالة النمو غير المحدود لشدته، يمكن أن يكون توزيع عدد الأحداث التي تحدث في تيار معين خلال فترة زمنية ذات طول ثابت يتم الحصول على معلمات هذا التوزيع التقريبي، وتوضح الأمثلة العددية المدروسة إمكانية تطبيق النتائج المقاربة التي تم الحصول عليها لتدفقات أحداث HISM. تم الحصول على نتائج مماثلة سابقًا لأنواع أخرى من التدفقات عالية الكثافة: MMPP MAP TUSUR. التقارير 3 (9) 3 سبتمبر

7 AN Moiseev AA Nazarov التحليل المقارب لتدفق شبه ماركوف عالي الكثافة 5 المراجع Gnedenko BV مقدمة لنظرية الطابور / BV Gnedenko IN Kovalenko الطبعة الرابعة M: دار النشر LKI 7 4 s Grachev VV نموذج الطابور متعدد الأطوار الموزع. نظام معالجة البيانات / VV Grachev AN Moiseev AA Nazarov VZ Yampolsky // تقارير TUSUR (6) h C Moiseev A تحقيق في التدفق العام العالي المكثف / A Moiseev A Nazarov // بروك المؤتمر الدولي الرابع "مشاكل علم التحكم الآلي والمعلوماتية" ( PCI) باكو: IEEE P Moiseev تحقيق في عملية بواسون عالية الكثافة المعدلة بواسطة ماركوف / A Moiseev A Nazarov // بروك للمؤتمر الدولي حول تطبيق تكنولوجيا المعلومات والاتصالات والإحصاء في الاقتصاد والتعليم (ICAICTSEE-) صوفيا: الجامعة الاقتصاد الوطني والعالمي P Moiseev AN دراسة تدفق MAP عالي الكثافة / AN Moiseev AA Nazarov // Izv جامعة توم بوليتكنيك 3 T 3 S Korolyuk VS النماذج العشوائية للأنظمة كييف: Nauk Dumka s 7 Nazarov AA نظرية الاحتمالية والعشوائية. العمليات: كتاب مدرسي / AA Nazarov AF Terpugov-e izd ispr تومسك: دار نشر NTL 4 ص 8 Nazarov AA طريقة التحليل المقارب في نظرية الطابور / AA Nazarov SP Moiseeva Tomsk: دار نشر NTL 6 ص 9 Korn G كتيب الرياضيات للعلماء و المهندسين / G Korn T Korn M: العلوم مع Rykov VV الإحصاء الرياضي والتخطيط التجريبي: كتاب مدرسي / VV Rykov VY Itkin M: MAKS Press 38 مع Moiseev Alexander نيكولايفيتش مرشح العلوم التقنية أستاذ مشارك، قسم هندسة البرمجيات، جامعة ولاية تومسك (TSU) ) هاتف: 8 (38-) البريد الإلكتروني: نزاروف أناتولي أندريفيتش دكتوراه في العلوم التقنية أستاذ رئيس قسم نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي TSU هاتف: 8 (38-) البريد الإلكتروني: Moiseev AN Nazarov AA التحليل المقارب للشبه المكثف العالي -عملية الوصول الماركوفية تم عرض دراسة عملية الوصول شبه الماركوفية عالية الكثافة في الورقة، وتبين أنه يمكن توزيع عدد الوافدين في العملية خلال فترة ما في ظل حالة مقاربة لنمو لا نهائي لمعدل العملية تقريبية بالتوزيع الطبيعي يتم الحصول على خصائص التقريب أيضًا النتائج التحليلية مدعومة بأمثلة رقمية الكلمات الرئيسية: عملية وصول عالية الكثافة عملية شبه ماركوفية تحليل مقارب تقارير TUSUR 3 (9) 3 سبتمبر

فهرس. بالاسانيان س. نموذج طبقي لتقييم وتحليل كفاءة عمل الأنظمة التكنولوجية المعقدة مع العديد من الدول // أخبار كلية تومسك للفنون التطبيقية

التحليل المقارب لشبكة أسئلة غير ماركوف ذات الحلقة المفتوحة HIMMPP (GI) K A. Nazarov, A. Moiseev جامعة تومسك الحكومية تومسك، روسيا [البريد الإلكتروني محمي]يعرض العمل

نشرة جامعة ولاية تومسك 2008 قسم علوم الكمبيوتر وعلوم المعلومات 3(4) UDC 6239؛ 592 SV Lopukhova بحث عن تدفق MMR من خلال الطريقة التقاربية للترتيب يعتبر العمل

S. A. ماتفييف، أ.ن. مويسيف، أ. نزاروف. تطبيق طريقة اللحظات الأولية 9 UDC 59.87 S.A. ماتفييف، أ.ن. مويسيف، أ. نزاروف تطبيق طريقة اللحظات الأولية لدراسة نظام متعدد الأطوار

نشرة جامعة ولاية تومسك 7 إدارة تكنولوجيا الكمبيوتر وعلوم المعلومات UDC 5987 TA كارليخانوفا طريقة تدفق الغربلة لدراسة نظام GI / GI / لنظام الانتظار

يو دي سي 6.39؛ 59. س.ف. لوبوخوفا أ. دراسة نزاروف لتدفق MAR من خلال طريقة التحليل التقاربي للترتيب NTH، تم أخذ تدفق MAR بعين الاعتبار. تمت دراسة هذا التدفق باستخدام الطريقة المقاربة.

نشرة جامعة ولاية تومسك 8 إدارة تكنولوجيا الكمبيوتر وعلوم المعلومات 4(5) النمذجة الرياضية UDC 59.87 V.A. فافيلوف أ. النمذجة الرياضية لنزاروف للحالة غير المستقرة

فرع جامعة ولاية كيميروفو في أنجيرو-سودجينسك للأبحاث الوطنية جامعة تومسك الحكومية معهد جامعة ولاية كيميروفو للمشاكل الإدارية

نشرة جامعة ولاية تومسك إدارة تكنولوجيا الكمبيوتر وعلوم المعلومات 3() UDC 59.87 I.A. إيفانوفسكايا إس. بحث مويسيفا لنموذج الخدمة الموازية للطلبات المتعددة

نشرة جامعة ولاية تومسك 2011 الإدارة وتكنولوجيا الكمبيوتر وعلوم المعلومات 3(16) معالجة المعلومات UDC 519.872 I.L. لاباتين، أ.أ. خصائص نزاروف لأنظمة ماركوف

أ.أ. نزاروف آي. سيمينوف. مقارنة الخصائص المقاربة والحدود الأولية 187 UDC 4.94:519.872 A.A. نزاروف آي. Semenova مقارنة الخصائص التقاربية والحدودية لنظام MAP/M/

فرع جامعة ولاية كيميروفو في أنجيرو-سودجينسك للأبحاث الوطنية جامعة تومسك الحكومية معهد جامعة ولاية كيميروفو للمشاكل الإدارية

الفيزياء الإشعاعية الإحصائية ونظرية المعلومات المحاضرة 7 8. سلاسل ماركوف للزمن المستمر سلاسل ماركوف للزمن المستمر هي عملية ماركوف العشوائية Xt، وتتكون من

نشرة جامعة ولاية تومسك 9 إدارة تكنولوجيا الكمبيوتر وعلوم المعلومات (7) النمذجة الرياضية UDC 5987 VA Vavilov النمذجة الرياضية الشبكات العشوائية غير المستقرة

الفصل 5. عمليات ماركوف مع الزمن المستمر ومجموعة منفصلة من الحالات نتيجة لدراسة هذا الفصل، يجب على الطلاب: معرفة تعريفات وخصائص عمليات ماركوف مع الزمن المستمر

كمخطوطة بحث زاديرانوفا ليوبوف ألكساندروفنا عن النماذج الرياضية للتدفق في QS الخطية اللامتناهية مع الصيانة المتكررة للمتطلبات 05.13.18 النمذجة الرياضية العددية

نشرة جامعة ولاية تومسك 7 إدارة تكنولوجيا الكمبيوتر وعلوم المعلومات UDC 59 NV Stepanova AF Terpugov إدارة الأسعار في بيع المنتجات القابلة للتلف تعتبر الإدارة

نشرة جامعة ولاية تومسك الإدارة وتكنولوجيا الكمبيوتر وعلوم المعلومات () UDC 59.865 K.I. ليفشيتس ، ياس. احتمالية انهيار شركة التأمين في باجل تحت مؤشر ستوكاستيك المزدوج

UDC 6-5 الخصائص الطيفية للوظائف الخطية وتطبيقاتها في تحليل وتوليف أنظمة التحكم العشوائية K.A. ريباكوف يقدم المقال مفهوم الخصائص الطيفية للخطية

كمخطوطة بحث لاباتين إيفان ليونيدوفيتش عن النماذج الرياضية لتدفق الإخراج لأنظمة قائمة الانتظار مع عدد غير محدود من الأجهزة 05.13.18 النمذجة الرياضية العددية

محتويات الفصل العمليات العشوائية سلسلة ماركوف البسيطة المتجانسة معادلة ماركوف سلسلة ماركوف البسيطة المتجانسة 4 خصائص مصفوفة الانتقال 5 التجربة العددية: تثبيت التوزيع الاحتمالي

معهد الرياضيات الحاسوبية والجيوفيزياء الرياضية فرع سيبيريا للأكاديمية الروسية للعلوم قراءات مارتشوكوف العلمية 017 5 يونيو 14 يوليو 017 وقائع هيئة التحرير أكاديمي

دراسة نظام RQ-SYSTEM M GI 1 بطريقة التحليل التقاربي في ظل ظروف الحمل الثقيل إي. مويسيفا، أ. نزاروف جامعة تومسك الحكومية تومسك، روسيا [البريد الإلكتروني محمي]يعتبر العمل

UDC 6-5:59 NS Demin SV Rozhkova OV Rozhkova التصفية في الأنظمة الديناميكية من خلال الملاحظات المنفصلة المستمرة مع الذاكرة في وجود التداخل الشاذ II الملاحظات المنفصلة المستمرة في هذا العمل

الطرق العددية الموضوع 2 الاستيفاء الخامس I Velikodny 2011 2012 العام الدراسي 1 مفهوم الاستيفاء الاستيفاء هو طريقة تقريبًا أو بدقة للعثور على أي قيمة من القيم الفردية المعروفة

المجلة الرياضية الأوكرانية المجلد 5 (28)، 3، 293 34 حول مشاكل القيمة الحدودية لمشغل تفاضلي عادي مع معاملات المصفوفة Anna V Agibalova (مقدمة من M M Malamud) الملخص

المحاضرة 2. الإحصائيات من النوع الأول. التقديرات المشار إليها وخصائصها Bure V.M.، Grauer L.V. شاد سانت بطرسبرغ، 2013 بوري V.M.، Grauer L.V. (شاد) المحاضرة الثانية: الإحصاء من النوع الأول. منقط سانت بطرسبرغ,

إدارة تكنولوجيا الكمبيوتر وعلوم المعلومات UDC 6-5:59 البحث في كفاءة قناة المراقبة المنفصلة ذات الذاكرة في مشكلة الاستقراء NS Demin OV Rozhkova* جامعة تومسك الحكومية

الفيزياء الإشعاعية الإحصائية ونظرية المعلومات المحاضرة السادسة 7. عمليات ماركوف* العشوائية وسلاسل ماركوف. *ماركوف أندري أندريفيتش (مواليد 1890) عالم رياضيات روسي، أكاديمي ماركوف عملية عشوائية

المجلة الرياضية السيبيرية يوليو أغسطس 2003، المجلد 44، 4 UDC 51921+5192195 حول مكونات تمثيل التخصيم لوقت سكن المسيرات العشوائية شبه المستمرة في النطاق في S Lugavów

كمخطوطة، بحث جورباتينكو آنا إيفجينييفنا في أنظمة الانتظار ذات التدفقات المترابطة في ظل شروط تقييد خاصة 05.13.18 النمذجة الرياضية، الطرق العددية

إدارة تكنولوجيا الكمبيوتر وعلوم المعلومات UDC 59. جانب المعلومات في المشكلة المشتركة المتمثلة في التصفية والاستيفاء المستمر المنفصل. تحليل S.V. روزكوفا أو.في. روزكوفا تومسك بوليتكنيك

مجلة الرياضيات السيبيرية يوليو أغسطس 2005. المجلد 46، 4 UDC 519.21 حول تمثيلات التخصيم في مشاكل الحدود للمشي العشوائي المحدد في سلسلة ماركوف V. I. Lotov، N. G. Orlova

المحاضرة الثالثة استقرار التوازن وحركة النظام عند النظر في الحركات الثابتة نكتب معادلات الحركة المضطربة على الصورة d dt A Y حيث يكون متجه العمود عبارة عن مصفوفة مربعة ذات معاملات ثابتة

الفصل الأول المعادلات التفاضلية 1.1 مفهوم المعادلة التفاضلية 1.1.1 المشكلات التي تؤدي إلى المعادلات التفاضلية. في الفيزياء الكلاسيكية، ترتبط كل كمية فيزيائية بـ

الوظيفة المميزة للمحاضرة الغرض من المحاضرة: بناء طريقة لخطية وظائف المتغيرات العشوائية؛ التعريف بمفهوم المتغير العشوائي المركب والحصول على خصائصه العددية. تحديد مميزة

أنظمة النمذجة باستخدام عمليات ماركوف العشوائية المفاهيم الأساسية لعمليات ماركوف تسمى الدالة X(t) عشوائية إذا كانت قيمتها لأي وسيطة t هي متغير عشوائي.

1. سلاسل ماركوف المتجانسة المنتهية خذ بعين الاعتبار سلسلة من المتغيرات العشوائية ξ n، n 0، 1،...، كل منها موزع بشكل منفصل ويأخذ قيمًا من نفس المجموعة (x 1،...،

الفصل السادس أساسيات نظرية الاستقرار بيان مشكلة المحاضرة المفاهيم الأساسية سابقًا، تبين أن حل مشكلة كوشي لنظام عادي ODE = f, () يعتمد بشكل مستمر على الشروط الأولية عند

Sin cos R Z cos ImZ cos sin sin تشكل الحلول الموجودة بهذه الطريقة نظامًا أساسيًا من الحلول، وبالتالي فإن الحل العام للنظام له الشكل أو، بمزيد من التفصيل، sin cos cos sin cos cos sin sin

الموثوقية الهيكلية. النظرية والتطبيق كاشتانوف ف. التحكم في الهيكل في نماذج الانتظار والموثوقية باستخدام عمليات شبه ماركوف الخاضعة للرقابة، الأمثل

النموذج الرياضي لشركة تأمين في شكل نظام خدمة قائمة الانتظار M M I. Sinyakova, S. Moiseeva National Research University Tomsk State University تومسك، روسيا [البريد الإلكتروني محمي]

UDC 59. نظرية الفصل في حالة الملاحظات ذات الذاكرة N.S. ديمين، س.ف. جامعة روزكوفا تومسك الحكومية، جامعة تومسك للفنون التطبيقية، البريد الإلكتروني: [البريد الإلكتروني محمي]تم تقديم الدليل

وفقًا لشروط النظرية L B (m ثم، نظرًا لخطية العامل L، لدينا: m m m L L ] B [ أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

المراجع Kalashnikova TV Izvekov NU دمج طريقة توجيه الطلب في نظام التسعير لسلسلة البيع بالتجزئة // أخبار جامعة تومسك بوليتكنيك T 3 6 S 9 3 Fomin

معهد الرياضيات الحاسوبية والجيوفيزياء الرياضية فرع سيبيريا للأكاديمية الروسية للعلوم قراءات مارتشوكوف العلمية 217 25 يونيو 14 يوليو 217 وقائع هيئة التحرير أكاديمي

الموضوع 7. العمليات العشوائية. الغرض من محتوى الموضوع السابع هو إعطاء مفاهيم أولية حول العمليات العشوائية وسلاسل ماركوف على وجه الخصوص؛ تحديد نطاق المشكلات الاقتصادية التي تستخدمها النماذج في حلها،

المحاضرة 4. فترات الثقة Bure V.M., Grauer L.V. شاد سانت بطرسبرغ، 2013 بوري V.M.، Grauer L.V. (SHAD) المحاضرة الرابعة. فترات الثقة سانت بطرسبرغ، 2013 1 / 49 المحتويات المحتويات 1 فترات الثقة

مجلة الرياضيات السيبيرية يناير فبراير 2. المجلد 41، 1 UDC 517.948 الحلول المقاربة للمعادلات التكاملية غير الخطية المضطربة بشكل فردي M. K. Dauylbaev

أنظمة نمذجة المحاضرات باستخدام عمليات ماركوف العشوائية المفاهيم الأساسية لعمليات ماركوف تسمى الدالة X(t) عشوائية إذا كانت قيمتها لأي وسيطة t عشوائية

7 ()، 9 ج. ف. بويكوفا عن العالم الملخص: بالنسبة لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية، تم إيجاد حل يمثل

العلوم الطبيعية والدقيقة UDC 57977 حول التحكم في الأنظمة الخطية المفردة المضطربة ذات التأخير البسيط مرشح العلوم الفيزيائية والرياضية أستاذ مشارك KOPEYKINA TB GUSEINOVA A S البيلاروسية الوطنية التقنية

النمذجة الحاسوبية. SMO. المحاضرة 2 1 المحتويات الفصل 2. تمثيل QS بواسطة عملية ماركوف العشوائية... 1 I. تصنيف QS وفقًا لكيندال... 1 II. عملية ماركوف العشوائية... 2 ثالثا. ماركوفسكي

48 سلسلة Vestnik RAU العلوم الفيزيائية والرياضية والطبيعية، 1، 28، 48-59 UDC 68136 تقييم خصائص الموثوقية لأنظمة التعلم عن بعد الجزء 2 HV Kerobyan، NN Khublaryan، AG Oganesyan الروسية الأرمينية

المفاهيم الأساسية لنظرية مخططات الاختلاف. أمثلة على بناء مخططات الفرق لمشاكل القيمة الحدودية الأولية. يؤدي عدد كبير من المشكلات في الفيزياء والتكنولوجيا إلى القيمة الحدودية أو مشاكل القيمة الحدودية الأولية للخطية

4 (0) 00 تحليل بايزي عندما تكون المعلمة المقدرة عملية عادية عشوائية تعتبر مشكلة تقدير بايزي لتسلسل قيم متوسطة غير معروفة ف ف ... ف ... تعتبر

الجامعة التكنولوجية الروسية ميريا فصول إضافية للرياضيات العليا الفصل 3. أنظمة المعادلات التفاضلية العمل مخصص لنمذجة الأنظمة الديناميكية باستخدام العناصر

أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة الاختزال إلى معادلة واحدة من الرتبة th من وجهة نظر عملية، تعتبر الأنظمة الخطية ذات المعاملات الثابتة مهمة جدًا

1 عنوان الوثيقة Ovsyannikov A.V. التفاوتات الإحصائية في التجارب الإحصائية الفائقة لنظرية التقدير // الأكاديمية الوطنية الغربية للعلوم بيلاروسيا، 009. Ser fz-mat. navuk. ص106-110

UDC 59 EV Novitskaya AF Terpugov تحديد الحجم الأمثل للكثير من المنتجات وسعر التجزئة لمبيعات المنتجات القابلة للتلف المستمر يتم النظر في مشكلة تحديد الحجم الأمثل للكثير من السلع

جامعة موسكو التقنية الحكومية سميت باسم NE Bauman كلية العلوم الأساسية قسم النمذجة الرياضية A. K. K. K., A. Kremenko AP

Math-Net.Ru البوابة الرياضية لعموم روسيا A. A. Nazarov، T. V. Lyubina، نظام RQ الديناميكي غير ماركوف مع تدفق طلبات MMP الوارد، Avtomat. و telemekh.، 213، العدد 7، 89 11 الاستخدام

وزارة التعليم في الاتحاد الروسي جامعة ولاية كراسنويارسك UDC BBK تم تجميعها بواسطة: N.A. قسم بينكينا للرياضيات العليا الجبر الخطي. حل الأمثلة النموذجية. خيارات الاختبار

المحاضرة 2 حل أنظمة المعادلات الخطية. 1. حل أنظمة من 3 معادلات خطية باستخدام طريقة كرامر. تعريف. نظام من 3 معادلات خطية هو نظام من الشكل وفي هذا النظام تكون الكميات المطلوبة هي