Методи планування експерименту. Планування експериментів Планування експерименту на прикладах

Планування експерименту

Планування експерименту(англ. experimental design techniques) - комплекс заходів, вкладених у ефективну постановку дослідів. Основна мета планування експерименту - досягнення максимальної точності вимірювань за мінімальної кількості проведених дослідів та збереження статистичної достовірності результатів.

Планування експерименту застосовується під час пошуку оптимальних умов, побудові інтерполяційних формул, виборі значимих чинників, оцінці та уточненні констант теоретичних моделей та інших.

Історія

Планування експерименту виникло у 20-х роках XX століття із потреби усунути або хоча б зменшити систематичні помилки у сільськогосподарських дослідженнях шляхом рандомізації умов проведення експерименту. Процедура планування виявилася спрямованою не тільки на зменшення дисперсії параметрів, що оцінюються, але також і на рандомізацію щодо супутніх, спонтанно змінюються і неконтрольованих змінних. В результаті вдалося позбутися зміщення в оцінках.

Етапи планування експерименту

Методи планування експерименту дозволяють мінімізувати кількість необхідних випробувань, встановити раціональний порядок та умови проведення досліджень залежно від їх виду та необхідної точності результатів. Якщо ж з якихось причин кількість випробувань вже обмежена, то методи дають оцінку точності, з якою в цьому випадку будуть отримані результати. Методи враховують випадковий характер розсіювання властивостей об'єктів, що випробовуються, і характеристик використовуваного обладнання. Вони базуються на методах теорії ймовірності та математичної статистики.

Планування експерименту включає низку етапів.

1. Встановлення мети експерименту(Визначення характеристик, властивостей тощо) та його виду (визначальні, контрольні, порівняльні, дослідні).

2. Уточнення умов проведення експерименту(існуюче чи доступне обладнання, терміни робіт, фінансові ресурси, чисельність та кадровий склад працівників тощо). Вибір виду випробувань (нормальні, прискорені, скорочені в умовах лабораторії, на стенді, полігонні, натурні або експлуатаційні).

6. Статистична обробка результатів експерименту,побудова математичної моделі поведінки досліджуваних показників.
Необхідність обробки викликана тим, що вибірковий аналіз окремих даних, поза зв'язком з іншими результатами, або ж некоректна їх обробка можуть знизити цінність практичних рекомендацій, а й призвести до помилкових висновків. Обробка результатів включає:

• визначення довірчого інтервалу середнього значення та дисперсії (або середнього квадратичного відхилення) величин вихідних параметрів (експериментальних даних) для заданої статистичної надійності;
• перевірка на відсутність помилкових значень (викидів) з метою виключення сумнівних результатів з подальшого аналізу. Проводиться на відповідність одному із спеціальних критеріїв, вибір якого залежить від закону розподілу випадкової величини та виду викиду;
• перевірка відповідності досвідчених даних раніше апріорно введеному закону розподілу. Залежно від цього підтверджуються вибраний план експерименту та методи обробки результатів, уточнюється вибір математичної моделі.

Побудова математичної моделі виконується у випадках, коли мають бути отримані кількісні характеристики взаємопов'язаних вхідних та вихідних досліджуваних параметрів. Це - завдання апроксимації, тобто вибору математичної залежності, що найкраще відповідає експериментальним даним. Для цих цілей застосовують регресійні моделі, які засновані на розкладанні шуканої функції в ряд із утриманням одного (лінійна залежність, лінія регресії) або кількох (нелінійні залежності) членів розкладання (ряди Фур'є, Тейлора). Одним із методів підбору лінії регресії є поширений метод найменших квадратів.

Для оцінки ступеня взаємопов'язаності факторів чи вихідних параметрів проводять кореляційний аналіз результатів випробувань. Як міру взаємопов'язаності використовують коефіцієнт кореляції: для незалежних або нелінійно залежних випадкових величин він дорівнює або близький до нуля, а його близькість до одиниці свідчить про повну взаємопов'язаність величин та наявність між ними лінійної залежності.
При обробці чи використанні експериментальних даних, представлених у табличному вигляді, виникає потреба одержання проміжних значень. Для цього застосовують методи лінійної та нелінійної (поліномінальної) інтерполяції (визначення проміжних значень) та екстраполяції (визначення значень, що лежать поза інтервалом зміни даних).

7. Пояснення отриманих результатівта формулювання рекомендацій щодо їх використання, уточнення методики проведення експерименту.

Зниження трудомісткості та скорочення термінів випробувань досягається застосуванням автоматизованих експериментальних комплексів. Такий комплекс включає випробувальні стенди з автоматизованою установкою режимів (дозволяє імітувати реальні режими роботи), автоматично опрацьовує результати, веде статистичний аналіз та документує дослідження. Але велика і відповідальність інженера у цих дослідженнях: чітке поставлені цілі випробувань і правильно прийняте рішення дозволяють точно знайти слабке місце виробу, скоротити витрати на доведення та ітераційність процесу проектування.

Приклади експериментальних планів

Мета експерименту:вивчити ефективність нового методу викладання психології у ВНЗ.

Незалежна змінна:запровадження нового методу викладання.

Залежна змінна:успішність студентів у навчанні.

Організація експерименту:в одній із академічних груп першого курсу використовується новий метод викладання психології. Висновок про ефективність способу робиться на основі аналізу результатів іспиту. Середній бал групи – 4,2.

Артефакти:

фон (вплив особистості викладача),

природний розвиток (інтелектуальний розвиток студентів),

склад груп (високий вихідний рівень студентів),

відсіювання («слабкі» студенти відмовилися від занять),

взаємодія складу груп із експериментом (студенти експериментальної групи – випускники спеціалізованого ліцею).

Мета експерименту:вивчити вплив телепрограми, присвяченої Голокосту, на поінформованість населення про цю подію.

Незалежна змінна:показ телепрограми.

Залежна змінна:поінформованість населення.

Організація експерименту:по центральному тел еканалу транслюється передача, в якій розповідається про масове знищення євреїв (Холокост). Після цього групі осіб розсилається опитувальник про події Голокосту. Висновок про вплив передачі робиться на основі аналізу результатів опитувальника – 76% опитаних знають про події Голокосту.

Загрози валідності:

фон (учасники були поінформовані раніше, чи вплинула інша подія),

природний розвиток (учасники – школярі),

ефект тестування (на обізнаність вплинуло опитування, а не перегляд передачі),

інструментальна похибка (недосконалий опитувальник),

взаємодія тестування із незалежною змінною (учасники дізналися про подію саме в результаті опитування),

взаємодія складу груп із незалежною змінною (опитали лише осіб із вищою освітою).

Мета експерименту:

Незалежна змінна:

Залежна змінна:шкільна успішність

Організація експерименту:в одному з класів школи всі учні пройшли курс швидкісного читання, тоді як учні другого класу такого курсу не проходили. Висновок про ефективність курсу робиться на основі зіставлення результатів. Учні першої групи здобули середній бал успішності за чверть – 4,0; другий – 3,4.

Загрози валідності:

Склад груп (вихідний високий рівень школярів, які проходили курс),

відсіювання («слабкі» учні були переведені в клас, який не проходив курс),

Мета експерименту:порівняти успішність школярів, які пройшли курс швидкісного читання, та тих, хто не проходив.

Незалежна змінна:проходження курсу швидкісного читання.

Залежна змінна:шкільна успішність

Організація експерименту:учні одного з класів школи були випадковим чином поділені на дві групи. Учні групи А пройшли курс швидкісного читання, тоді як учні групи Б такого курсу не проходили. Висновок про ефективність курсу робиться на основі зіставлення результатів. Учні першої групи здобули середній бал успішності за чверть – 4,0; другий – 3,4.

Загрози валідності:

взаємодія складу груп із незалежною змінною (учням було обіцяно винагороду за проходження курсу).

Мета експерименту:дослідити вплив методу подвійного оцінювання (кожна оцінка подвоюється) на успішність учнів.

Незалежна змінна:метод подвійного оцінювання.

Залежна змінна:успішність на предмет (англійська мова).

Організація експерименту:в експерименті беруть участь учні одного із класів загальноосвітньої школи. Діти випадково діляться на дві підгрупи, які вивчають англійську мову. Уроки проводить той самий вчитель. Попередньо вимірюється успішність дітей. Після цього в одній із груп використовується метод подвійного оцінювання. Експеримент триває протягом місяця. Після завершення експерименту знову здійснюється вимірювання в обох групах. Встановлено, що в учасників експериментальної групи бал успішності вищий, ніж у учасників контрольної групи. При підрахунку успішності враховувалася одна з «подвоєних» оцінок.

Мета експерименту:вивчити вплив вербального заохочення на продуктивність образотворчої діяльності дітей дошкільного віку

Незалежна змінна:вербальне заохочення.

Залежна змінна:продуктивність образотворчої діяльності дітей дошкільного віку

Організація експерименту:в експерименті взяли участь діти, які надають підготовчі групи одного з міських дитячих освітніх закладів. Діти випадковим чином були поділені на чотири групи по 10-12 осіб у кожній (А, Б, В, Г). Попередньо аналізувалися малюнки, виконані дітьми двох груп упродовж попереднього тижня (А, Б). Далі експериментатор працював окремо з дітьми кожної групи. Діти малювали на вільну тему, при цьому учасників груп А та В постійно заохочували, відзначали стиль малювання та загальну старанність, тоді як діти двох інших груп не заохочувалися (Б, Г). Гіпотеза підтвердилася: вербальне заохочення підвищує продуктивність образотворчої діяльності дітей.

Мета експерименту:

Незалежна змінна:антитютюнова кампанія.

Залежна змінна:

Організація експерименту:в одній із загальноосвітніх шкіл було запроваджено класичну антитютюнову кампанію. Дітям читалися лекції про наслідки куріння, демонструвалися легкі курці, проводилося індивідуальне консультування. Вимірювання кількості підлітків, які курять, проводилися за 3, 2 та за 1 місяць до початку програми, а також через місяць після її завершення. В результаті виявилось, що кампанія була ефективною і 30% підлітків відмовилися від тютюнопаління.

Загрози валідності:

Фон (адміністрацією школи було запроваджено дисциплінарні заходи);

Взаємодія тестування з незалежною змінною (попереднє опитування привело до усвідомлення наслідків куріння, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ було закріплено в експерименті).

Мета експерименту:дослідити вплив двомісячної антитютюнової кампанії на підліткове тютюнопаління.

Незалежна змінна:антитютюнова кампанія.

Залежна змінна:зловживання тютюнопалінням.

Організація експерименту:в одній із загальноосвітніх шкіл було введено класичну антитютюнову кампанію, а в іншій школі такої кампанії не було. Дітям першої школи читалися лекції про наслідки куріння, демонструвалися легкі курці, проводилося індивідуальне консультування. Вимірювання кількості підлітків, які курять, здійснювалися в обох школах одночасно. В результаті виявилось, що кампанія була ефективною і 30% підлітків відмовилися від тютюнопаління.

Загрози валідності:

Взаємодія тестування з незалежною змінною (попереднє опитування привело до усвідомлення наслідків куріння, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ було закріплено в експерименті);

Взаємодія складу груп із незалежною змінною (з дітьми школи, де проводилася кампанія і раніше здійснювалися профілактичні бесіди).

Мета експерименту:дослідити вплив музики на продуктивність праці

Незалежна змінна:музичний супровід.

Залежна змінна:продуктивність праці.

Організація експерименту:група працівників промислового підприємства працювала в різних режимах із музичним супроводом (класична музика) і без нього через день протягом ста днів. Порівнювалася продуктивність праці учасників експерименту щодня. Виявилося, що музичний супровід стимулює продуктивність праці.

Загрози валідності:

Взаємодія тестування із незалежною змінною (постійне тестування підвищує продуктивність);

Реакція учасників на незалежну змінну (реакція учасників на увагу, Їм їм приділяється).

Мета експерименту:дослідити підвищення продуктивності праці робітників машинобудівного заводу при оплаті від виробітку.

Незалежна змінна:спосіб оплати.

Залежна змінна:продуктивність праці.

Організація експерименту:в експерименті брали участь дві групи працівників заводу. Попередньо вимірювалася продуктивність їхньої праці. Після цього для однієї з груп, учасники якої добровільно погодилися на участь в експерименті, було введено оплату від виробітку (А). Вимірювання після експерименту обох групах показало, що продуктивність роботи учасників групи А підвищилася.

Загрози валідності:

Взаємодія тестування із незалежною змінною (попередній вимір посилило експериментальний ефект).

Мета експерименту:дослідити вплив підсумкових модульних контрольних робіт (з кожної теми) на успішність студентів.

Незалежна змінна:модульні контрольні роботи (МКР)

Залежна змінна:успішність студентів.

Організація експерименту:в університеті два факультети готують студентів за спеціальністю «Психологія» (єдині вимоги до набору, однаковий викладацький склад та навчальні плани). На першому факультеті (А) вимірювали успішність студентів третього курсу протягом року. На другому факультеті (Б) наступного року запровадили МКР для студентів третього курсу, після чого також виміряли успішність. Виявилося, що запровадження МКР сприяє підвищенню успішності.

Загрози валідності:

фон (на факультеті Б сувора процедура виключення);

Природний розвиток (студенти факультету Б старше віком);

Відсіювання (слабкі студенти факультету Б було виключено).

Мета експерименту:дослідити особливості посттравматичного стресу жертв фізичного насильства

Незалежна змінна:фізичне насильство.

Залежна змінна:посттравматичний стрес.

Організація експерименту:в експерименті взяли участь люди, які перенесли фізичне насильство, звернулися до центру реабілітації та дали згоду на участь у опитуванні. До контрольної групи були випадково відібрані піддослідні, які ніколи не переживали насильства. Учасники обох груп відповідали на серію питань щодо свого емоційного стану, реакції на можливе насильство, ставлення до агресора та ін.

Загрози валідності:

Взаємодія тестування із незалежною змінною (опитування актуалізувало страхи).

Приклади експериментальних планів - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Приклади експериментальних планів" 2017, 2018.

Створення моделі – акт необхідний при аналізі та синтезі складних систем, але далеко не кінцевий. Модель - не мета дослідника, а лише інструмент проведення досліджень, інструмент експерименту. У перших темах ми досить повно розкрили афоризм: "Модель є об'єкт та засіб експерименту".

Експеримент повинен бути інформативним, тобто давати всю потрібну інформацію, якою слід бути повною, точною, достовірною. Але вона має бути отримана прийнятним способом. Це означає, що спосіб повинен задовольняти економічним, тимчасовим та, можливо, іншим обмеженням. Така суперечність дозволяється за допомогою раціонального (оптимального) планування експерименту.

Теорія планування експерименту склалася в шістдесяті роки ХХ століття завдяки роботам видатного англійського математика, біолога, статистика Рональда Айлмера Фішера (1890-1962 рр.). Одне з перших вітчизняних видань: Федоров В. В. Теорія оптимального експерименту. 1971 р. Дещо пізніше склалася теорія та практика планування імітаційних експериментів, елементи яких розглядаються у цій темі.

4.1. Сутність та цілі планування експерименту

Отже, як ми знаємо, модель створюється щодо ній експериментів. Будемо вважати, що експеримент складається з спостережень, а кожне спостереження - з прогонів (реалізацій) моделі.

Для організації експериментів найважливіше таке.

Комп'ютерний експеримент з імітаційною моделлю має переваги перед натурним експериментом з усіх цих позицій.

Що таке комп'ютерний (машинний) експеримент?

Комп'ютерний експериментявляє собою процес використання моделі з метою отримання та аналізу інформації, що цікавить дослідника, про властивості моделюваної системи.

Експеримент потребує витрат праці та часу і, отже, фінансових витрат. Чим більше ми хочемо отримати інформацію від експерименту, тим він дорожчий.

Засобом досягнення прийнятного компромісу між максимумом інформації та мінімумом витрат ресурсів є план експерименту.

План експериментувизначає:

• обсяг обчислень на комп'ютері;
• порядок проведення обчислень на комп'ютері;
• способи накопичення та статистичної обробки результатів моделювання.

Планування експериментів має такі цілі:

• скорочення загального часу моделювання за дотримання вимог до точності та достовірності результатів;
• збільшення інформативності кожного спостереження;
• створення структурної основи процесу дослідження.

Таким чином, план експерименту на комп'ютері є методом отримання за допомогою експерименту необхідної інформації.

Звичайно, можна проводити дослідження і за таким планом: дослідити модель у всіх можливих режимах, за всіх можливих поєднань зовнішніх і внутрішніх параметрів, повторювати кожен експеримент десятки тисяч разів – чим більше, тим точніше!

Очевидно, користі від такої організації експерименту мало, отримані дані важко оглянути та проаналізувати. Крім того, більшими будуть витрати ресурсів, а вони завжди обмежені.

Весь комплекс дій із планування експерименту поділяють на дві самостійні функціональні частини:

• стратегічне планування;
• тактичне планування

Стратегічне планування- Розробка умов проведення експерименту, визначення режимів, що забезпечують найбільшу інформативність експерименту.

Тактичне плануваннязабезпечує досягнення заданих точності та достовірності результатів.

4.2. Елементи стратегічного планування експериментів

Формування стратегічного плану виконується у так званому факторному просторі. Факторний простір- це безліч зовнішніх і внутрішніх параметрів, значення яких дослідник може контролювати під час підготовки та проведення експерименту.

Об'єктами стратегічного планування є:

• вихідні змінні (відгуки, реакції, екзогенні змінні);
• вхідні змінні (чинники, ендогенні змінні);
• рівні факторів.

Математичні методи планування експериментів ґрунтуються на так званому кібернетичному поданні процесу проведення експерименту (рис. 4.1).

Мал. 4.1.

- Вхідні змінні, фактори;

- Вихідна змінна (реакція, відгук);

Помилка, перешкода, яка викликається наявністю випадкових факторів;

Оператор, що моделює дію реальної системи, що визначає залежність вихідної змінної від факторів

Інакше: - Модель процесу, що протікає в системі.

Першою проблемою, Розв'язуваної при стратегічному плануванні, є вибір відгуку (реакції), тобто визначення , які величини потрібно вимірювати під час експерименту, щоб отримати відповіді. Звичайно, вибір відгуку залежить від мети дослідження.

Наприклад, при моделюванні інформаційно-пошукової системи може цікавити дослідника час відповіді системи на запит. Але може цікавити такий показник, як максимальна кількість обслуговуваних запитів за інтервал часу. А може, те й інше. Вимірюваних відгуків може бути багато: Надалі говоритимемо про один відгук

Другою проблемоюстратегічного планування є вибір ( визначення ) істотних чинників та його поєднань, які впливають роботу моделируемого об'єкта. Факторами можуть бути напруга живлення, температура, вологість, ритмічність поставок комплектуючих і багато іншого. Зазвичай число факторів велике і чим менше ми знайомі з моделюється системою, тим більше, нам здається, число їх впливає на роботу системи. Теоретично систем наводиться так званий принцип Парето:

• 20% факторів визначають 80% властивостей системи;
• 80% факторів визначають 20% властивостей системи. Отже, треба вміти виділяти суттєві чинники. А

це досягається досить глибоким вивченням модельованого об'єкта і протікають у ньому процесів.

Чинники можуть бути кількісними та (або) якісними.

Кількісні фактори- Це ті, значення яких числа. Наприклад, інтенсивності вхідних потоків і потоків обслуговування, ємність буфера, число каналів СМО, частка шлюбу при виготовленні деталей та ін.

Якісні фактори- дисципліни обслуговування (LIFO, FIFO та ін.) в СМО, "біле складання", "жовте складання" радіоелектронної апаратури, кваліфікація персоналу тощо.

Чинник має бути керованим. Керованість фактора- це можливість встановлення та підтримки значення фактора постійним або таким, що змінюється відповідно до плану експерименту. Можливі й некеровані чинники, наприклад, вплив довкілля.

До сукупності факторів, що впливають, пред'являються дві основні вимоги:

• сумісність;
• незалежність.

Сумісність факторівозначає, що це комбінації значень чинників здійсненні.

Незалежність факторіввизначає можливість встановлення значення чинника будь-якому рівні незалежно від рівнів інших чинників.

У стратегічних планах чинники позначають латинської буквою , де індекс вказує номер (тип) фактора. Зустрічаються і такі позначення факторів: і т.д.

Третьою проблемоюстратегічного планування є вибір значень кожного фактора, званих рівнями фактора.

Число рівнів може бути два, три та більше. Наприклад, якщо як один з факторів виступає температура, то рівнями можуть бути: 80 o С, 100 o С, 120 o С.

Для зручності і, отже, здешевлення експерименту число рівнів слід вибирати менше, але достатнє задоволення точності і достовірності експерименту. Мінімальна кількість рівнів – два.

З погляду зручності планування експерименту доцільно встановлювати однакову кількість рівнів в усіх чинників. Таке планування називають симетричним.

Аналіз даних експерименту істотно спрощується, якщо призначити рівні факторів, що рівновіддаляються один від одного. Такий план називається ортогональним. Ортогональність плану зазвичай досягають так: дві крайні точки області зміни фактора вибирають як два рівні, а інші рівні мають так, щоб вони ділили отриманий відрізок на дві частини.

Наприклад, діапазон напруги живлення 30 ... 50 В на п'ять рівнів буде розбитий так: 30 В, 35 В, 40 В, 45 В, 50 В.

Експеримент, у якому реалізуються всі поєднання рівнів всіх факторів, називається повним факторним експериментом(ПФЕ).

План ПФЕ гранично інформативний, але може вимагати неприйнятних витрат ресурсів.

Якщо відволіктися від комп'ютерної реалізації плану експерименту, кількість вимірювань відгуків (реакцій) моделі при ПФЭ одно:

де - Число рівнів-го фактора, ; - Число факторів експерименту.

При проведенні наукових експериментів та технологічних розрахунків поряд із субстанційним (виготовлення фізичного зразка матеріалу) та структурно-імітаційним (імітація взаємодії структурних елементів системи) моделюванням широко застосовується функціональне моделювання, результатом якого є отримання певної математичної функції, що описує поведінку об'єкта дослідження, абстрагуючись від внутрішньої речового субстрату. Функціональна модель працює за принципом "чорної скриньки", при цьому відомі параметри "входу" - змінні або постійні фактори, а також параметри "виходу" - критерій ефективності, відгук і т.д. . Наприклад, побудова функціональних моделей експериментальних залежностей властивостей бетону від його складу включає наступні етапи:

• уточнення залежно від конкретної задачі параметрів, що оптимізуються (міцності бетону, зручноукладальності бетонної суміші та ін.);
• вибір факторів, що визначають мінливість параметрів, що оптимізуються; ‒ визначення основного вихідного складу бетонної суміші; ‒ вибір інтервалів варіювання факторів;
• вибір плану та умов проведення експерименту;
• обробка результатів експерименту з побудовою математичних моделей залежностей властивостей бетонної суміші та бетону від вибраних факторів.

Планування експерименту – це процедура вибору числа та умов проведення дослідів, необхідних та достатніх для вирішення поставленого завдання з необхідною точністю.

Розглянемо процес математичного планування та обробки даних факторного експерименту із застосуванням програмно-алгоритмічних засобів на прикладі комп'ютерної програми "PlanExp B-D13", розробленої серед програмування Microsoft Visual Basic 6.0. Розроблений програмний продукт дозволяє проводити моментальний розрахунок плану експерименту за заданими змінними факторами, розраховувати коефіцієнти рівняння математичної моделі, проводити статистичну оцінку адекватності математичної моделі, будувати діаграми ліній рівного рівня з можливістю виявлення точки екстремуму, а також автоматично формувати звіт за підсумками експерименту. Програма орієнтована на роботу з трифакторним планом експерименту B-D13, який дозволяє отримувати нелінійні квадратичні моделі, і має хороші статистичні характеристики.

Алгоритм програми включає основні процедури – процедуру розрахунку коефіцієнтів функції відгуку, процедуру статистичної обробки та процедуру візуалізації математичної моделі. Усі основні обчислення виконуються циклічно, що дозволяє моментально перебудовувати математичну модель, змінюючи вхідні дані. Крім того, алгоритм включає допоміжну процедуру, що забезпечує перевірку синтаксичної правильності даних, що вводяться. При помилках введення даних програма коригує дії користувача засобами текстового оповіщення.

Інтерфейс програмного продукту реалізований у вигляді логічних блоків, що дозволяють вводити вихідні дані та змінювати параметри виведення математичної моделі в інтерактивному режимі (рисунок 1).

Малюнок 1– Інтерфейс програми обробки даних трьохфакторних планованих експериментів

Опишемо порядок роботи з програмою на прикладі планованого експерименту щодо дослідження залежності міцності бетону від рецептурних факторів.

У першому логічному блоці встановлюються вхідні фактори експерименту. В експерименті варіюються: кількість в'язкої частини бетону; вміст наповнювача та кількість добавки – гіперпластифікатора. Значення факторів задаються у натуральному вигляді (грами, відсотки тощо). Користувач заповнює текстові поля – основний рівень факторів, інтервал варіювання та найменування фактора (рисунок 2).

Малюнок 2– Блок введення значень вхідних факторів

У розрахунку факторного плану значення рівнів вхідних факторів приймаються в кодованому вигляді, при цьому, основний рівень (центр плану) кожного фактора позначається як "0", а нижній та верхній рівні: -1 і +1 відповідно. Перерахунок заданих користувачем натуральних значень факторів здійснюється шляхом лінійної інтерполяції значень:

де x i – значення i-го фактора в кодованому вигляді, X i – значення i-го фактора в натуральному вигляді, Δ X i – інтервал варіювання i-го фактора.

У прикладі в експерименті контролюється величина межі міцності бетону на стиск ( Rсж, МПа). Для визначення відтворюваності вимірювань вихідного параметра необхідно проводити паралельні виміри. У програмі допускається введення вихідних значень до трьох паралельних вимірів. Згідно з планом експерименту розраховується 10 дослідів з 3 паралельних випробувань у кожному. Вихідні параметри, найменування вихідного параметра та кількість паралельних вимірів встановлюються користувачем у другому блоці (рисунок 3).

Малюнок 3– Блок розрахунку плану експерименту та введення значень вихідних параметрів

Після автоматичної перевірки введених даних програма розраховує коефіцієнти математичної моделі та виводить функцію відгуку у третьому логічному блоці (рисунок 4).

Малюнок 4– Блок виведення математичної моделі

Після отримання математичної моделі проводиться перевірка значущості (відмінності від нуля) коефіцієнтів моделі та її адекватність.

Адекватність (від латів. adaequatus – прирівняний, рівний) – відповідність, вірність, точність. Точність виміру - характеристика виміру, що відображає ступінь близькості його результатів до справжнього значення вимірюваної величини.

Перевірка коефіцієнтів на значущість здійснюється за допомогою критерію Стьюдента (t-критерію), який розраховується за формулою:

де b i – i-й коефіцієнт математичної моделі, S{b i) – середньоквадратичне відхилення у визначенні коефіцієнтів.

Середньоквадратичне відхилення у визначенні коефіцієнтів функції відгуку розраховується за такою формулою:

де C i – величини, наведені для плану B-D13 таблиці 1, Sв ² – дисперсія відтворюваності у паралельних дослідах.

Таблиця 1– Величини C i для плану B-D13

Дисперсія відтворюваності в паралельних дослідах розраховується за



де N– кількість дослідів у плані, m– кількість паралельних вимірів у кожному досвіді, y uj – значення вихідного параметра в u-ом досвіді, j-ом паралельному вимірі, y u – середнє значення вихідного параметра в uом досвіді.

Розрахункове значення t-критерію порівнюється з табличним tтабл для обраного рівня значущості (як правило, 5%) та даного числа ступенів свободи N(m-1). При табл t i<tтабл коефіцієнт b i вважається незначним.

Перевірка адекватності математичної моделі проводиться за критерієм Фішера ( F-Критерій). Для цього обчислюється дисперсія адекватності за формулою:

де nз - кількість значних коефіцієнтів, y u – значення відгуку, передбачене за рівнянням математичної моделі.

У свою чергу критерій Фішера розраховується як відношення:

Розрахункове значення F-критерія порівнюється з табличним Fтабл для обраного рівня значущості (як правило, 5%) та чисел ступенів свободи N(m-1) та ( N–nз). При F<Fтабл рівняння математичної моделі вважається адекватним. Результати статистичної обробки моделі відображаються у четвертому логічному блоці (рисунок 5).

Малюнок 5– Блок статистичної обробки математичної моделі

У цьому прикладі математична модель міцності бетону визнана адекватною за критерієм Фішера ( F=3,07 < Fтабл =3,1) і застосовна на вирішення рецептурно-технологічних завдань. Рівняння математичної моделі є квадратичною функцією трьох змінних:

Оскільки для графічної інтерпретації функції трьох змінних потрібен чотиривимірний простір, з метою візуального спрощення та зручності роботи з математичною моделлю функцію трьох змінних необхідно перетворити на функцію двох змінних, по черзі приймаючи константою один із факторів. У п'ятому логічному блоці програми представлені засоби для перетворення рівняння регресії на функцію двох змінних. Користувач може встановити постійний фактор та задати його значення (у межах інтервалу варіювання) у кодованому та натуральному вигляді (рисунок 6).

Малюнок 6– Блок перетворення математичної моделі

В результаті перетворення виходять три варіанти математичної моделі: y=f(x 2 ,x 3) при x 1 = const, y=f(x 1 ,x 3) при x 2 = const і y=f(x 1 ,x 2) при x 3 = const. Для візуалізації кожного з трьох видів рівнянь будується діаграма ліній рівного рівня (ізоліній), що є проекцією тривимірних поверхонь на площині ( x 2 ; x 3 ), (x 1 ; x 3 ) та ( x 1 ; x 2). Таким чином, крива кожної ізолінії будується в координатах ( x 2 , x 3 ), (x 1 , x 3 ) та ( x 1 , x 2), а її побудова проводиться за квадратичними функціями x 2 =f(x 3 ), x 1 =f(x 3 ) x 1 =f(x 2) відповідно (рисунок 7).

У шостому логічному блоці програми представлена ​​інтерактивна діаграма ізоліній, що дозволяє користувачеві знімати координати факторного поля та значення вихідного параметра в режимі реального часу.

Малюнок 7- Діаграма ізоліній математичної моделі міцності бетону: x 1 = const (а), x 2 = const (б), x 3 = const (в)

Обробка даних запланованого експерименту завершується процедурою виявлення екстремуму функції відгуку. Для визначення координат точки екстремуму проводиться автоматичне обчислення першої похідної за кожним із значень факторів. Коріння отриманої системи рівнянь є координатами точки екстремуму досліджуваного рівняння регресії:

Малюнок 8 – Поверхня відгуку (а) при x 1 =const та її переріз (б)

при x1 = const і x 2 = const

Розроблений програмний засіб може застосовуватися у будь-яких науково-прикладних задачах з оптимізації властивостей об'єкта дослідження, підбору рецептури та технологічних параметрів, де використовується математичне моделювання методом ортогонального планування експериментів.

- Баженов, Ю.М. Модифіковані високоякісні бетони/Ю.М. Баженов, В.С. Дем'янова, В.І. Калашников // Наукове видання. - М.: Видавництво Асоціації будівельних вузів. 2006. 368 с.

- Григор'єв, Ю.Д. Плани експерименту для моделей регресії типу сплайн / Ю.Д. Григор'єв // Заводська лабораторія. Діагностика матеріалів. №11 (79). 2013 року.

- Ордінарцева, Н.П. Планування експерименту у вимірах / Н.П. Ординарцева / / Заводська лабораторія. Діагностика матеріалів. №03 (79). 2013 року.

- Радянський енциклопедичний словник / за ред. А.М. Прохорова. - М.: Радянська енциклопедія, 1980.

"Бєлов, В.В. Комп'ютерна реалізація вирішення науково-технічних та освітніх завдань: навчальний посібник / В.В. Бєлов, І.В. Образцов, В.К. Іванов, Є.М. Конопльов // Тверь: ТвДТУ, 2015 . 108 с.