Пуассонівські потоки подій та безперервні марківські ланцюги. Моделювання за схемою марківських випадкових процесів Схема загибелі та розмноження

Обчислювальні технології

Том 13, Спеціальний випуск 5, 2008

Дослідження напівмарківського потоку подій

А. А. Назаров, С. В. Лопухова Томський державний університет, Росія e-mail: nazarov@f pmk. tsu. ru, lopuchovasv@mail. ru

І.Р. Гарайшина

Філія Кемеровського державного університету у м. Анжеро-Судженську, Росія e-mail: [email protected]

У підписаній роботі, semimarkovian process is considered. Limiting model is considered. Результати analytical treatment of limiting model are compared with results, obtained by asymptotical method.

Вступ

Існує проблема розширення класу математичних моделей потоків однорідних подій. Найчастіше класичні моделі випадкових потоків подій неможливо знайти адекватні реальним інформаційним, телекомунікаційним потокам. p align="justify"> Моделей пуассоповського і найпростішого потоків часто буває недостатньо для більш правдоподібного, наближеного до реальності опису вхідних потоків для систем масового обслуговування. Незважаючи на те, що існують потоки фазового типу і модульовані пуассонівські потоки, які більш адекватні реальним ситуаціям, великий інтерес представляють моделі напівмарківського потоку, окремим випадком яких є потоки марковського відновлення і всі перераховані вище потоки. Методи дослідження таких моделей досить складні та призводять до значних математичних проблем. Тому поряд із завданням розширення класів потоків існує проблема розвитку методів їхнього дослідження.

1. Математична модель

Випадковим потоком однорідних подій (потоком) називатимемо впорядковану послідовність

t\< ¿2 < ■ ■ ■

випадкових величин tm – моментів настання подій у потоці.

Нехай задана напівмарківська матриця A(x) з елементами Aklk2(x), Матрця P = lim A(x) є стохастичною, тому при заданому початковому розподілі

вона визначає деякий ланцюг Маркова k (tm) з дискретним часом, яку називатимемо вкладеним у напівмарківський потік ланцюгом Маркова,

А. А. Назаров, С. В. Лопухова, І. Р. Гарайшина

Випадковий потік однорідних подій називатимемо напівмарківським, якщо ймовірнісний закон формування послідовності (1) визначається початковим розподілом та рівностями

Ак1к2(х) = Р(к(Ьт+1) = к2, Ьт+1 - Ьт< х ^^т) = к\ }

за всіх т > 1.

Позначимо п(Ь) число подій підлоги маркового століття потоку, які настали за час Ь па інтервалі.

Завданням дослідження даної роботи є встановлення розподілу ймовірностей Р(п, Ь) = Р(п(Ь) = п) при стаціонарному функціонуванні ергодичної ланцюга Маркова до (1т). Очевидно, процес п(Ь) - немарківський, тому визначимо ще два випадкові процеси: г(Ь) - довжину інтервалу від моменту часу Ь до моменту настання чергової події в потоці, що розглядається, до(Ь) - безперервний зліва процес з безперервним часом, значення якого на інтервалі (Ьт,Ьт+1) постійні і визначаються рівностями до (Ь) = до (Ьт+1).В силу зроблених визначень випадковий процес (к(Ь), п(Ь), г(Ь)) є тривимірним марківським процесом із безперервним часом.

Зауважимо, що випадковий процес до(Ь) не є напівмарківським у класичному визначенні , оскільки напівмарківський процес Б(Ь) безперервний праворуч і, як зазначено в , для його перехідних ймовірностей не існує диференціальних еволюційних рівнянь Колмогорова, тоді як запропонований вище процес (к(Ь), п(Ь), г(Ь)) - марківський, тому для його розподілу ймовірностей

Р(к, п, г,Ь) = Р(к(Ь) = к, п(Ь) = п, г(Ь)< г} (2)

неважко скласти систему диференціальних рівнянь Колмогорова дР (к, п, г, Ь) дР (к, п, г, Ь) дР (к, п, 0, Ь)

^ дГ (і,1Ь - 1, 0,Ь) А (\ 2-^-

дЬ дг дг ^ дг

Позначимо

Н(к, і, г, г) = ^ е"іПР(к,п,г,Ь),

де ] = ¡~ ~~ уявна одиниця. Для цих функцій із системи диференціальних рівнянь Колмогорова можна записати

дН (к, і, г, Ь) дН (к, і, г, Ь) дН (к, і, 0, Ь), і ^ дН (і, і, 0, Ь)

дЬ дг дг ^ дг

Позначимо Н (і,г,Ь) = (Н (1,і,г,Ь) ,Н (2,і,г,Ь),...) рядок вектор-функції, тоді систему рівнянь (3) перепишемо в матричному вигляді

дН(і,г,г) _ дН(і,г,г) дН(і,0,г) Мц,г ч п т

дг дг + дг 1 [) "" [ )

рішення якої задовольняє початковій умові H(u,z, 0) = R(z), де I - одинична матриця, а стаціонарний розподіл R(z) двовимірного марківського процесу (k(t), z(t)) є розв'язанням задачі Коші

<Ш = <Ш(1-Мг)),

і визначається рівністю R(z) = seiт/(Р - A(x))dx, де aei = Тут г - вектор-

рядок стаціонарного розподілу ймовірностей значень вкладеного ланцюга Маркова

k(tm); E - одиничний вектор-стовпець та матриця A = (P - A(x))dx.

2. Догранична модель

Нехай маємо диференціальне рівняння (4), розв'язок H(u,z,t) якого задовольняє початковій умові H(u, z, 0) = R(z). Тоді перетворення Фур'є - Стілтьєса

ф>(u,a,t) = / ejaz dz H (u, z, t) вектор-функції H (u,z,t) задовольняє рівняння

дф(і,а,Ь). . дН (і, 0,Ь), .*. . гЛ, .

т = ~заф(щ а, +-(е?іА*(а) - /) (5)

та початковій умові

ф(і,а, 0) = R*(a) = ^ е>а2

де А*(а) = J е>а"2dA(z). Рішення рівняння (5) має вигляд про

ф(і, а,1) = е~заЬ [II*(а) + I (¿>іА*(а) - I) dт]. (6)

Спрямувавши Ь в нескінченність у виразі (6), отримаємо перетворення Фур'є по т

дН (і, 0, т) ^ ^ "л

з вектор-функції---. Виконавши зворотне перетворення Фур'є, визначимо,

I e-j *A*(aj) 1 da.

А. А. Назаров, С. В. Лопухова, І. Р. Рарайшшіа

Тепер рівність (6) можна записати у вигляді

ф(ща,г) = е-аЬ Я*(а) +

+ - / е]ат I е~зутК*(у) (/ - е>іА*(у)) 1 Ау (е"іА*(а) - /)<*г). (7)

Знаючи, що Н(і, ж,г) = Н(і,г) = ф(і, 0,1), отримаємо вираз для вектор-функції Н(і,г):

Тоді розподіл ймовірностей Р(п, г) числа подій, що настали за час г, є

ції Н(і,Ь) = МеЕіп(Ь = Н(і,Ь)Е, воно має вигляд

1 З а1 Г 1 - е-™Ь

Р(п,1) = - е~зипНШ)Е(1і = - / -^-5

I - А*(у) А*(у)п-1Ейу, (8)

I - А * (у) Е<1у

Висновок

Виконуючи асимптотичні дослідження напівмаркового віку подій, аналогічні дослідженню потоків марківського відновлення, отримаємо, що асимптотику третього порядку для характеристичної функції можна записати у вигляді

МеГап(1) = ^«(ге^+^ае^+^аез*)

де коефіцієнти 831 а2, аз3 для напівмарківського потоку визначаються аналогічно тому, як це зроблено в роботах . Отримані рівності (8) визначають розподіл ймовірностей Р(п,г) числа подій, що настали в стаціонарному напівмарківському потоці, заданому напівмарківською матрицею А(х) та її перетворенням А*(х) Фур'є - Стілтьєса чисельні значення ймовірностей Р(п, г) для досить широкого клавеа матриць А * (х) і значень г. Але можливості чисельної реалізації обмежені обчислювальними ресурсами. Для досить великих значень г природно застосувати метод асимптотичного аналізу напівмарківського потоку аналогічно тому, як це виконано для маркового потоку відновлення в роботі і просіяного потоку марковського відновлення в роботі . Наявність чисельного алгоритму (8) дозволяє визначити сферу застосування асимптотичних результатів. Для розглянутих потоків з трьома станами вкладеного ланцюга Маркова відстань Колмогорова - Смирнова між розподілами,

отриманими асимптотично і за формулами (8), не перевищує 2-3% для певних значень t = Т, це дозволяє стверджувати, що при t> Т ефективне застосування асимптотичних результатів, а при t< Т целесообразно использовать формулы (8), полученные в данной работе.

Список літератури

Королюк B.C. Стохастичні моделі систем. Київ: Наук, думка, 1989. 208 с.

Назаров A.A., Лопухова C.B. Дослідження потоку марківського відновлення асимптотичним способом другого порядку // Матер. Міжнар. наук. конф. "Математичні методи підвищення ефективності функціонування телекомунікаційних мереж". Гродно, 2007. С. 170-174.

Лопухова C.B. Вивчення напівмарківського потоку асимптотичним способом третього порядку // Матер. VI Міжнар. науково-практ. конф. "Інформаційні технології та математичне моделювання". Томськ: Вид-во Том. ун-ту, 2007. Ч. 2. С. 30-34.

Федеральне агентство з освіти РФ

ФГОУ СПО «Перевізський будівельний коледж»

Курсова робота

з дисципліни «Математичні методи»

на тему «СМО з обмеженим часом очікування. Замкнуті СМО»

Вступ................................................. .................................................. ....... 2

1. Основи теорії масового обслуговування............................................ ...... 3

1.1 Поняття випадкового процесу.............................................. .................... 3

1.2 Марківський випадковий процес.............................................. ................ 4

1.3 Потоки подій............................................... .......................................... 6

1.4. Рівняння Колмогорова для ймовірностей станів. Фінальні ймовірності станів............................................... .................................................. ........ 9

1.5 Завдання теорії масового обслуговування............................................. .. 13

1.6 Класифікація систем масового обслуговування 15

2. Системи масового обслуговування з очікуванням 16

2.1 Одноканальна СМО з очікуванням ............................................. ........... 16

2.2 Багатоканальна СМО з очікуванням ............................................. ......... 25

3. Замкнуті СМО.............................................. .......................................... 37

Рішення завдання................................................ ............................................. 45

Висновок................................................. .................................................. .

Список літератури................................................ ....................................... 51

У цьому курсі ми розглядатимемо різні системи масового обслуговування (СМО) та мережі масового обслуговування (СМО).

Під системою масового обслуговування (СМО) розуміють динамічну систему, призначену ефективного обслуговування потоку заявок (вимог обслуговування) при обмеження ресурси системи.

Моделі СМО зручні описи окремих підсистем сучасних обчислювальних систем, як-от підсистема процесор - основна пам'ять, канал вводу-вывода тощо. буд. Обчислювальна система загалом є сукупність взаємозалежних підсистем, взаємодія яких носить імовірнісний характер. Заявка на вирішення деякої задачі, що надходить в обчислювальну систему, проходить послідовність етапів рахунку, звернення до зовнішніх пристроїв і пристроїв введення-виведення. Після виконання деякої послідовності таких етапів, число та тривалість яких залежить від трудомісткості програми, заявка вважається обслуженою та залишає обчислювальну систему. Таким чином, обчислювальну систему в цілому можна представляти сукупністю СМО, кожна з яких відображає функціонування окремого пристрою або групи однотипних пристроїв, що входять до складу системи.

Сукупність взаємозалежних СМО називається мережею масового обслуговування (стохастичною мережею).

Для початку ми розглянемо основи теорії СМО, потім перейдемо до ознайомлення у докладному змісті до СМО з очікуванням та замкненим СМО. Також в курс включено практичну частину, в якій ми докладно познайомимося з тим, як застосувати теорію на практиці.

Теорія масового обслуговування становить один із розділів теорії ймовірностей. У цій теорії розглядаються імовірніснізавдання та математичні моделі (до цього нами розглядалися детерміновані математичні моделі). Нагадаємо, що:

Детермінована математична модельвідображає поведінку об'єкта (системи, процесу) з позицій повної визначеностіу теперішньому та майбутньому.

Ймовірнісна математична модельвраховує вплив випадкових чинників поведінка об'єкта (системи, процесу) і, отже, оцінює майбутнє з позицій ймовірності тих чи інших подій.

Тобто. тут як, наприклад, у теорії ігор задачі розглядаються в умовах невизначеності .

Розглянемо спочатку деякі поняття, які характеризують «стохастичну невизначеність», коли невизначені фактори, що входять до завдання, є випадковими величинами (або випадковими функціями), ймовірнісні характеристики яких або відомі, або можуть бути отримані з досвіду. Таку невизначеність називають ще «сприятливою», «доброякісною».

Строго кажучи, випадкові обурення притаманні будь-якому процесу. Простіше навести приклади випадкового, ніж «невипадкового» процесу. Навіть, наприклад, процес ходу годинника (начебто це сувора вивірена робота – «працює як годинник») схильний до випадкових змін (догляд вперед, відставання, зупинка). Але доки ці обурення несуттєві, мало впливають на цікаві для нас параметри, ми можемо ними знехтувати і розглядати процес як детермінований, невипадковий.

Нехай є деяка система S(технічний пристрій, група таких пристроїв, технологічна система – верстат, дільниця, цех, підприємство, галузь промисловості тощо). В системі Sпротікає випадковий процесякщо вона з часом змінює свій стан (переходить з одного стану в інший), причому, заздалегідь невідомим випадковим чином.

Приклади:

1. Система S- технологічна система (дільниця верстатів). Верстати іноді виходять з ладу і ремонтуються. Процес, який у цій системі, випадковий.

2. Система S- Літак, що здійснює рейс на заданій висоті за певним маршрутом. Обурювальні чинники – метеоумови, помилки екіпажу тощо, наслідки – «болтанка», порушення графіка польотів тощо.

Випадковий процес, що протікає в системі, називається Марківськимякщо для будь-якого моменту часу t 0 ймовірнісні характеристики процесу в майбутньому залежать тільки від його стану в даний момент t 0 і не залежать від того, коли і як система прийшла до цього стану.

Нехай зараз t 0 система знаходиться у певному стані S 0 . Ми знаємо характеристики стану системи в теперішньому і все, що було при t <t 0 (передісторію процесу). Чи можемо передбачити (передбачити) майбутнє, тобто. що буде за t >t 0? В точності - ні, але якісь ймовірнісні характеристики процесу в майбутньому знайти можна. Наприклад, ймовірність того, що через деякий час система Sвиявиться в стані S 1 або залишиться в стані S 0 і т.д.

приклад. Система S- Група літаків, що беруть участь у повітряному бою. Нехай x– кількість «червоних» літаків, y- кількість "синіх" літаків. На момент часу t 0 кількість літаків, що збереглися (не збитих) відповідно – x 0 , y 0 . Нас цікавить ймовірність того, що в момент часу чисельна перевага буде на боці червоних. Ця ймовірність залежить від того, в якому стані знаходилася система у момент часу t 0 , а не від того, коли і в якій послідовності гинули збиті до моменту t 0 літаки.

Насправді Марківські процеси у чистому вигляді зазвичай зустрічаються. Але є процеси, котрим впливом «передісторії» можна знехтувати. І при вивченні таких процесів можна застосовувати Марківські моделі (теоретично масового обслуговування розглядаються і не Марківські системи масового обслуговування, але математичний апарат, який їх описує, набагато складніше).

У дослідженні операцій велике значення мають Марківські випадкові процеси з дискретними станами та безперервним часом.

Процес називається процесом із дискретним станом, якщо його можливі стани S 1 , S 2, … можна заздалегідь визначити, і перехід системи зі стану в стан відбувається «стрибком» практично миттєво.

Процес називається процесом з безперервним часом, якщо моменти можливих переходів зі стану стан не фіксовані заздалегідь, а невизначені, випадкові і можуть статися в будь-який момент.

приклад. Технологічна система (дільниця) Sскладається з двох верстатів, кожен з яких у випадковий момент часу може вийти з ладу (відмовити), після чого миттєво починається ремонт вузла, що теж триває наперед невідомий, випадковий час. Можливі такі стани системи:

S 0 - обидва верстати справні;

S 1 - перший верстат ремонтується, другий справний;

S 2 - другий верстат ремонтується, перший справний;

S 3 - обидва верстати ремонтуються.

Переходи системи Sзі стану в стан відбуваються практично миттєво, у випадкові моменти виходу з ладу того чи іншого верстата чи закінчення ремонту.

При аналізі випадкових процесів із дискретними станами зручно користуватися геометричною схемою – графом станів. Вершини графа – стану системи. Дуги графа - можливі переходи зі стану в стан. Для нашого прикладу граф станів наведено на рис. 1.

Мал. 1. Граф станів системи

Примітка. Перехід із стану S 0 в S 3 малюнку не позначений, т.к. передбачається, що верстати виходять з ладу незалежно один від одного. Імовірністю одночасного виходу з ладу обох верстатів ми нехтуємо.

Потік подій- Послідовність однорідних подій, що йдуть одна за одною в якісь випадкові моменти часу.

У попередньому прикладі – це потік відмов та потік відновлень. Інші приклади: потік дзвінків на телефонній станції, потік покупців у магазині тощо.

Потік подій можна зобразити поруч точок на осі часу O t- Мал. 2.

Мал. 2. Зображення потоку подій на осі часу

Положення кожної точки випадково, і тут зображена лише одна реалізація потоку.

Інтенсивність потоку подій ( ) - Це середня кількість подій, що припадає на одиницю часу.

Розглянемо деякі властивості (види) потоків подій.

Потік подій називається стаціонарним, Якщо його ймовірні характеристики не залежать від часу.

Зокрема, інтенсивність стаціонарного потоку стала. Потік подій неминуче має згущення чи розрідження, але де вони носять закономірного характеру, і середнє число подій, що припадає на одиницю часу, завжди і від часу залежить.

Потік подій називається потоком без наслідків, якщо для будь-яких двох ділянок часу, що не перетинаються, і (див. рис. 2) кількість подій, що потрапляють на одну з них, не залежить від того, скільки подій потрапило на іншу. Іншими словами, це означає, що події, що утворюють потік, з'являються в ті чи інші моменти часу незалежно один від одногота викликані кожне своїми власними причинами.

Потік подій називається ординарнимякщо події в ньому з'являються поодинці, а не групами по кілька відразу.

Потік подій називається найпростішим (або стаціонарним пуассонівським),якщо він має відразу три властивості:

1) стаціонарний;

2) ординарний;

3) немає наслідків.

Найпростіший потік має найпростіший математичний опис. Він відіграє серед потоків таку ж особливу роль, як закон нормального розподілу серед інших законів розподілу. А саме, при накладенні досить великої кількості незалежних, стаціонарних та ординарних потоків (порівняних між собою за інтенсивністю) виходить потік, близький до найпростішого.

Для найпростішого потоку з інтенсивністю інтервал Tміж сусідніми подіями має так зване показовий (експоненційний) розподіліз щільністю:

де – параметр показового закону.

Для випадкової величини T, Що має показовий розподіл, математичне очікування є величина, обернена параметру, а середнє квадратичне відхилення дорівнює математичному очікуванню:

Розглядаючи Марківські процеси з дискретними станами та безперервним часом, мається на увазі, що всі переходи системи Sзі стану в стан відбуваються під дією найпростіших потоків подій (потоків викликів, потоків відмов, потоків відновлень тощо). Якщо всі потоки подій, що переводять систему Sзі стану в стан найпростіші, то процес, що протікає в системі, буде Марковським.

Отже, на систему, що перебуває у стані, діє найпростіший потік подій. Як тільки з'явиться перша подія цього потоку, відбувається "перескок" системи зі стану в стан (на графі станів за стрілкою).

Для наочності на графі станів системи у кожної дуги проставляють інтенсивності потоку подій, який переводить систему з цієї дузі (стрілці). - Інтенсивність потоку подій, що переводить систему зі стану в. Такий граф називається розміченим. Для нашого прикладу розмічений граф наведено на рис. 3.

Мал. 3. Розмічений граф станів системи

На цьому малюнку – інтенсивності потоку відмов; - Інтенсивності потоку відновлень.

Припускаємо, що середній час ремонту верстата не залежить від того, чи ремонтується один верстат або обидва одночасно. Тобто. ремонтом кожного верстата зайнятий окремий спеціаліст.

Нехай система перебуває в стані S 0 . У стан S 1 її переводить потік відмов першого верстата. Його інтенсивність дорівнює:

де – середній час безвідмовної роботи першого верстата.

Зі стану S 1 в S 0 систему переводить потік «закінчень ремонтів» першого верстата. Його інтенсивність дорівнює:

де – середній час ремонту першого верстата.

Аналогічно обчислюються інтенсивності потоків подій, що переводять систему за всіма дугами графа. Маючи у своєму розпорядженні розмічений граф станів системи, будується математична модельцього процесу.

Нехай система, що розглядається Sмає -можливих станів. Імовірність -го стану - це ймовірність того, що в момент часу система буде перебувати в стані. Очевидно, що для будь-якого моменту часу сума всіх ймовірностей станів дорівнює одиниці:

Для знаходження всіх ймовірностей станів як функцій часу складаються та вирішуються рівняння Колмогорова– особливого виду рівняння, у яких невідомими функціями є ймовірність станів. Правило складання цих рівнянь наведемо тут без доказів. Але перш, ніж його наводити, пояснимо поняття фінальної ймовірності стану .

Що відбуватиметься з ймовірностями станів при ? Чи прагнутимуть якихось меж? Якщо ці межі існують і не залежать від початкового стану системи, то вони називаються фінальними ймовірностями станів .

де - Кінцева кількість станів системи.

Фінальні ймовірності станів– це не змінні величини (функції часу), а постійні числа. Очевидно, що:

Фінальна ймовірність стану- Це по-суті середнє відносне час перебування системи в цьому стані.

Наприклад, система Sмає три стани S 1 , S 2 та S 3 . Їхні фінальні ймовірності рівні відповідно 0,2; 0,3 та 0,5. Це означає, що система у граничному стаціонарному стані в середньому 2/10 часу проводить у стані S 1 , 3/10 – у стані S 2 та 5/10 – у стані S 3 .

Правило складання системи рівнянь Колмогорова: у кожному рівнянні системи у лівій його частиністоїть фінальна ймовірність цього стану, помножена на сумарну інтенсивність всіх потоків, провідних із цього стану, а у правій його частини- Сума творів інтенсивностей всіх потоків, що входять до -е стан, На ймовірність тих станів, з яких ці потоки виходять.

Користуючись цим правилом, напишемо систему рівнянь для нашого прикладу :

Цю систему чотирьох рівнянь із чотирма невідомими, здавалося б, можна цілком вирішити. Але ці рівняння однорідні (не мають вільного члена), отже, визначають невідомі лише з точністю до довільного множника. Однак можна скористатися нормувальною умовою: та з його допомогою вирішити систему. При цьому одне (будь-яке) з рівнянь можна відкинути (воно випливає як наслідок з інших).

Продовження прикладу. Нехай значення інтенсивностей потоків дорівнюють: .

Четверте рівняння відкидаємо, додаючи замість нього нормувальну умову:

Тобто. у граничному, стаціонарному режимі система Sв середньому 40% часу проводитиме в стані S 0 (обидва верстати справні), 20% - у стані S 1 (перший верстат ремонтується, другий працює), 27% - у стані S 2 (другий верстат ремонтується, перший працює), 13% - у стані S 3 (обидва верстати ремонтуються). Знання цих фінальних можливостей може допомогти оцінити середню ефективність роботи системи та завантаження ремонтних органів.

Нехай система Sв стані S 0 (цілком справна) приносить в одиницю часу дохід 8 умовних одиниць, в стані S 1 – дохід 3 умовні одиниці, у стані S 2 – дохід 5 умовних одиниць, може S 3 – не дає доходу. Тоді в граничному, стаціонарному режимі середній дохід за одиницю часу дорівнюватиме: умовних одиниць.

Верстат 1 ремонтується частку часу, що дорівнює: . Верстат 2 ремонтується частку часу, що дорівнює: . Виникає завдання оптимізації. Нехай ми можемо зменшити середній час ремонту першого або другого верстата (або обох), але це обійдеться нам у певну суму. Постає питання, чи окупить збільшення доходу, пов'язане з прискоренням ремонту, підвищені витрати на ремонт? Потрібно буде вирішити систему чотирьох рівнянь із чотирма невідомими.

Приклади систем масового обслуговування: телефонні станції, ремонтні майстерні, квиткові каси, довідкові бюро, верстатні та інші технологічні системи, системи управління гнучких виробничих систем і т.д.

Кожна СМО складається з якоїсь кількості обслуговуючих одиниць, які називаються каналами обслуговування(Це верстати, транспортні візки, роботи, лінії зв'язку, касири, продавці тощо). Будь-яка СМО призначена для обслуговування якогось потоку заявок(вимог), які у якісь випадкові моменти часу.

Обслуговування заявки триває якийсь, взагалі кажучи, випадковий час, після чого канал звільняється і готовий до прийому наступної заявки. Випадковий характер потоку заявок та часу обслуговування призводить до того, що в якісь періоди часу на вході СМО накопичується зайво велика кількість заявок (вони або стають у чергу, або залишають СМО не обслуженими). В інші періоди СМО працюватиме з недовантаженням або взагалі простоюватиме.

Процес роботи СМО – випадковий процес із дискретними станами та безперервним часом. Стан СМО змінюється стрибком у моменти появи якихось подій (приходу нової заявки, закінчення обслуговування, моменту, коли заявка, на яку набридло чекати, залишає чергу).

Предмет теорії масового обслуговування- Побудова математичних моделей, що пов'язують задані умови роботи СМО (кількість каналів, їх продуктивність, правила роботи, характер потоку заявок) з цікавими для нас характеристиками - показниками ефективності СМО. Ці показники описують здатність СМО справлятися з потоком заявок. Ними можуть бути: середня кількість заявок, які обслуговуються СМО в одиницю часу; середня кількість зайнятих каналів; середня кількість заявок у черзі; середній час очікування на обслуговування і т.д.

Математичний аналіз роботи СМО дуже полегшується, якщо процес роботи Марковський, тобто. потоки подій, що переводять систему зі стану на стан – найпростіші. Інакше математичний опис процесу дуже ускладнюється та його рідко вдається довести до конкретних аналітичних залежностей. Насправді не Марківські процеси з наближенням наводяться до Марківським. Наведений далі математичний апарат визначає Марківські процеси.

Перший поділ (за наявності черг):

1. СМО з відмовами;

2. СМО з чергою.

У СМО з відмовамизаявка, що надійшла в момент, коли всі канали зайняті, отримує відмову, залишає СМО і надалі не обслуговується.

У СМО з чергоюзаявка, що прийшла в момент, коли всі канали зайняті, не йде, а стає в чергу і чекає на можливість бути обслуженою.

СМО з чергами поділяютьсяна різні види залежно від того, як організовано чергу – обмежена або не обмежена. Обмеження можуть стосуватися як довжини черги, так і часу очікування, дисципліни обслуговування.

Отже, наприклад, розглядаються такі СМО:

· СМО з нетерплячими заявками (довжина черги та час обслуговування обмежений);

· СМО з обслуговуванням із пріоритетом, тобто. деякі заявки обслуговуються позачергово тощо.

Крім цього СМО діляться на відкриті СМО та замкнуті СМО.

У відкритій СМОПоказники потоку заявок залежить від того, у якому стані сама СМО (скільки каналів зайнято). У замкнутій СМО- Залежать. Наприклад, якщо один робітник обслуговує групу верстатів, що час від часу потребують налагодження, то інтенсивність потоку «вимог» з боку верстатів залежить від того, скільки їх вже справно і чекає налагодження.

Класифікація СМО далеко не обмежується наведеними різновидами, але цього достатньо.

Розглянемо найпростішу СМО з очікуванням - одноканальну систему (n - 1), в яку надходить потік заявок з інтенсивністю; інтенсивність обслуговування (тобто в середньому безперервно зайнятий канал видаватиме обслужених заявок в одиницю (часу). Заявка, що надійшла в момент, коли канал зайнятий, стає в чергу і чекає на обслуговування).

Система з обмеженою довжиною черги. Припустимо спочатку, кількість місць у черзі обмежена числом m, тобто. якщо заявка прийшла в момент, коли в черзі вже стоять m-заявок, вона залишає систему не обслуженою. Надалі, спрямувавши m до нескінченності, ми отримаємо характеристики одноканальної СМО без обмежень довжини черги.

Нумеруватимемо стани СМО за кількістю заявок, що знаходяться в системі (як обслуговуються, так і тих, що очікують обслуговування):

Канал вільний;

Канал зайнятий, черги немає;

Канал зайнятий, одна заявка стоїть у черзі;

Канал зайнятий, k-1 заявок стоять у черзі;

Канал зайнятий, т-заявок стоять у черзі.

ГСП показано на рис. 4. Усі інтенсивності потоків подій, що переводять у систему за стрілками зліва направо, рівні , а справа наліво - . Дійсно, за стрілками зліва направо систему переводить потік заявок (як тільки прийде заявка, система переходить у наступний стан), справа ж ліворуч - потік «звільнень» зайнятого каналу, що має інтенсивність (як тільки буде обслуговано чергову заявку, канал або звільниться, або зменшиться кількість заявок у черзі).

Мал. 4. Одноканальна СМО з очікуванням

Зображена на рис. 4 схема являє собою схему розмноження та загибелі. Напишемо вирази для граничних ймовірностей станів:

(5)

або з використанням:

(6)

Останній рядок (6) містить геометричну прогресію з першим членом 1 і знаменником р, звідки отримуємо:

(7)

у зв'язку з чим граничні ймовірності набувають вигляду:

(8).

Вираз (7) справедливо лише за< 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:

Визначимо характеристики СМО: ймовірність відмови, відносну пропускну здатність q, абсолютну пропускну здатність А, середню довжину черги, середню кількість заявок, пов'язаних із системою, середній час очікування в черзі, середній час перебування заявки до СМО.

Ймовірність відмови. Очевидно, заявка отримує відмову тільки у випадку, коли канал зайнятий і всі місця в черзі теж:

(9).

Відносна пропускна спроможність:

(10).

Середня довжина черги. Знайдемо середню кількість -заявок, що у черзі, як математичне очікування дискретної випадкової величини R-числа заявок, що у черги:

З ймовірністю в черзі стоїть одна заявка, з ймовірністю - дві заявки, взагалі з ймовірністю в черзі стоять k-1 заявок, і т.д., звідки:

(11).

Оскільки , суму (11) можна трактувати як похідну від суми геометричної прогресії:

Підставляючи цей вираз у (11) і використовуючи з (8), остаточно отримуємо:

(12).

Середня кількість заявок, що у системі. Отримаємо формулу для середнього числа -заявок, пов'язаних із системою (як стоять у черзі, так і що знаходяться на обслуговуванні). Оскільки , де - середня кількість заявок, що знаходяться під обслуговуванням, а k відомо, то залишається визначити . Оскільки канал один, кількість заявок, що обслуговуються, може дорівнювати 0 (з ймовірністю ) або 1 (з ймовірністю 1 - ), звідки:

та середня кількість заявок, пов'язаних із СМО, дорівнює:

(13).

Середній час очікування заявки у черзі. Позначимо його; якщо заявка приходить в систему в якийсь момент часу, то з ймовірністю канал обслуговування не буде зайнятий, і їй не доведеться стояти в черзі (час очікування дорівнює нулю). З ймовірністю вона прийде в систему під час обслуговування якоїсь заявки, але перед нею не буде черги, і заявка чекатиме на початок свого обслуговування протягом часу (середній час обслуговування однієї заявки). З ймовірністю в черзі перед заявкою буде стояти ще одна, і час очікування в середньому буде дорівнює , і т.д.

Якщо ж k=m+1, тобто. коли заявка, що знову приходить, застає канал обслуговування зайнятим і m-заявок у черзі (ймовірність цього), то в цьому випадку заявка не стає в чергу (і не обслуговується), тому час очікування дорівнює нулю. Середній час очікування дорівнюватиме:

якщо підставити сюди вирази для ймовірностей (8), отримаємо:

(14).

Тут використані співвідношення (11), (12) (похідна геометричної прогресії), а також (8). Порівнюючи це вираз з (12), зауважуємо, що інакше кажучи, середній час очікування дорівнює середній кількості заявок у черзі, поділеному на інтенсивність потоку заявок.

(15).

Середній час перебування заявки у системі. Позначимо - маточіння випадкової величини - час перебування заявки в СМО, що складається із середнього часу очікування в черзі та середнього часу обслуговування. Якщо завантаження системи складає 100%, очевидно, в іншому випадку:

Приклад 1. Автозаправна станція (АЗС) є СМО з одним каналом обслуговування (одною колонкою).

Майданчик при станції допускає перебування у черзі на заправку трохи більше трьох машин одночасно (m = 3). Якщо в черзі вже три машини, чергова машина, яка прибула до станції, в чергу не стає. Потік машин, що прибувають для заправки, має інтенсивність = 1 (машина за хвилину). Процес заправки продовжується в середньому 1,25 хв.

Визначити:

ймовірність відмови;

відносну та абсолютну пропускну здатність АЗС;

середня кількість машин, що очікують заправки;

середня кількість машин, що знаходяться на АЗС (включаючи обслуговувану);

середній час очікування машини у черзі;

середній час перебування машини на АЗС (включно з обслуговуванням).

Інакше висловлюючись, середній час очікування дорівнює середньому числу заявок у черзі, поділеному інтенсивність потоку заявок.

Знаходимо спочатку наведену інтенсивність потоку заявок: = 1/1,25 = 0,8; = 1/0,8 = 1,25.

За формулами (8):

Імовірність відмови 0,297.

Відносна пропускна здатність СМО: q=1-=0,703.

Абсолютна пропускна здатність СМО: A==0,703 машини за хв.

Середню кількість машин у черзі знаходимо за формулою (12):

тобто. середня кількість машин, які чекають у черзі на заправку, дорівнює 1,56.

Додаючи до цієї величини середня кількість машин, що знаходяться під обслуговуванням:

отримуємо середню кількість машин, пов'язаних із АЗС.

Середній час очікування машини у черзі за формулою (15):

Додаючи до цієї величини, отримаємо середній час, який машина проводить на АЗС:

Системи із необмеженим очікуванням. У таких системах значення т не обмежена і, отже, основні характеристики можуть бути отримані шляхом граничного переходу раніше отриманих виразах (5), (6) і т.п.

Зауважимо, що при цьому знаменник в останній формулі (6) є сумою нескінченного числа членів геометричної прогресії. Ця сума сходиться, коли прогресія нескінченно спадна, тобто. при<1.

Може бути доведено, що<1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.

Якщо, то співвідношення (8) набувають вигляду:

(16).

За відсутності обмежень за довжиною черги кожна заявка, яка прийшла в систему, буде обслуговується, тому q=1, .

Середню кількість заявок у черзі отримаємо з (12) при:

Середня кількість заявок у системі за формулою (13) при:

Середній час очікування отримаємо з формули (14) за:

Зрештою, середній час перебування заявки до СМО є:

Система з обмеженою довжиною черги. Розглянемо канальну СМО з очікуванням, яку надходить потік заявок з інтенсивністю ; інтенсивність обслуговування (для одного каналу); кількість місць у черзі.

Стан системи нумерується за кількістю заявок, пов'язаних системою:

немає черги:

Усі канали вільні;

Зайнятий один канал, інші вільні;

Зайняті-каналів, решта немає;

Зайняті всі каналів, вільних немає;

є черга:

Зайняті всі n-каналів; одна заявка стоїть у черзі;

Зайняті всі n-каналів, r-заявок у черзі;

Зайняті всі n-каналів, r-заявок у черзі.

ДСП наведено на рис. 17. У кожної стрілки проставлено відповідні інтенсивності потоків подій. За стрілками зліва направо систему переводить завжди той самий потік заявок з інтенсивністю , по стрілках праворуч наліво систему переводить потік обслуговування, інтенсивність якого дорівнює , помноженому на кількість зайнятих каналів.

Мал. 17. Багатоканальна СМО з очікуванням

Граф типовий для процесів розмноження та загибелі, на яку рішення раніше отримано. Напишемо вирази для граничних ймовірностей станів, використовуючи позначення : (тут використовується вираз суми геометричної прогресії зі знаменником ).

Отже, всі ймовірності станів знайдено.

Визначимо показники ефективності системи.

Імовірність відмови. Заявка, що надійшла, отримує відмову, якщо зайняті всі n-каналів і всі m-місць у черзі:

(18)

Відносна пропускна здатність доповнює можливість відмови до одиниці:

Абсолютна пропускна здатність СМО:

(19)

Середня кількість зайнятих каналів. Для СМО з відмовами воно збігалося із середнім числом заявок, що у системі. Для СМО з чергою середня кількість зайнятих каналів не збігається із середнім числом заявок, що у системі: остання величина відрізняється від першої на середнє число заявок, що у черзі.

Позначимо середню кількість зайнятих каналів. Кожен зайнятий канал обслуговує в середньому -заявок в одиницю часу, а СМО в цілому обслуговує в середньому А-заявок в одиницю часу. Розділивши одне на інше, отримаємо:

Середню кількість заявок у черзі можна обчислити безпосередньо як математичне очікування дискретної випадкової величини:

(20)

Тут знову (вираз у дужках) зустрічається похідна суми геометричної прогресії (див. вище (11), (12) - (14)), використовуючи співвідношення для неї, отримуємо:

Середня кількість заявок у системі:

Середній час очікування заявки у черзі. Розглянемо ряд ситуацій, що відрізняються тим, у якому стані застане систему знову прийшла заявка і скільки часу їй доведеться чекати на обслуговування.

Якщо заявка застане в повному обсязі канали зайнятими, їй взагалі доведеться чекати (відповідні члени в математичному очікуванні рівні нулю). Якщо заявка прийде в момент, коли зайняті всі n-каналів, а черги немає, їй доведеться чекати в середньому час, рівний (бо «потік звільнень»-каналів має інтенсивність). Якщо заявка застане всі канали зайнятими і одну заявку перед собою в черзі, їй доведеться в середньому чекати протягом часу (по кожну попереду заявку, що стоїть) і т. д. Якщо заявка застане в черзі -заявок, їй доведеться чекати в середньому протягом часу. Якщо заявка, що знову прийшла, застане в черзі вже m-заявок, то вона взагалі не чекатиме (але й не буде обслужена). Середній час очікування знайдемо, помножуючи кожне із цих значень на відповідні ймовірності:

(21)

Так само, як і у випадку одноканальної СМО з очікуванням, відзначимо, що цей вираз відрізняється від виразу для середньої довжини черги (20) лише множником , тобто.

Середній час перебування заявки в системі, як і для одноканальної СМО, відрізняється від середнього часу очікування на середній час обслуговування, помножений на відносну пропускну здатність:

Системи із необмеженою довжиною черги. Ми розглянули канальну СМО з очікуванням, коли в черзі одночасно можуть бути не більше m-заявок.

Також, як і раніше, при аналізі систем без обмежень необхідно розглянути отримані співвідношення при .

Імовірність станів отримаємо з формул граничним переходом (при ). Зауважимо, що сума відповідної геометричної прогресії сходить при і розходиться при >1. Припустивши, що<1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:

(22)

Ймовірність відмови, відносна та абсолютна пропускна спроможність. Оскільки кожна заявка рано чи пізно буде обслужена, характеристики пропускної спроможності СМО складуть:

Середню кількість заявок у черзі отримаємо при (20):

а середній час очікування – з (21):

Середня кількість зайнятих каналів, як і раніше, визначається через абсолютну пропускну здатність:

Середня кількість заявок, пов'язаних із СМО, визначається як середня кількість заявок у черзі плюс середня кількість заявок, що знаходяться під обслуговуванням (середня кількість зайнятих каналів):

Приклад 2. Автозаправна станція із двома колонками (n = 2) обслуговує потік машин з інтенсивністю =0,8 (машин на хвилину). Середній час обслуговування однієї машини:

У даному районі немає іншої АЗС, тож черга машин перед АЗС може зростати практично необмежено. Знайти властивості СМО.

Оскільки<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:

і т.д.

Середня кількість зайнятих каналів знайдемо, розділивши абсолютну пропускну здатність СМО А==0,8 на інтенсивність обслуговування =0,5:

Імовірність відсутності черги біля АЗС буде:

Середня кількість машин у черзі:

Середня кількість машин на АЗС:

Середній час очікування у черзі:

Середній час перебування машини на АЗС:

СМО з обмеженим часом очікування. Раніше розглядалися системи з очікуванням, обмеженим лише довжиною черги (числом m-заявок, що одночасно перебувають у черзі). У такій СМО заявка, що розростала в чергу, не залишає її, доки не дочекається обслуговування. Насправді зустрічаються СМО іншого типу, у яких заявка, почекавши деякий час, може піти з черги (так звані «нетерплячі» заявки).

Розглянемо СМО такого типу, припускаючи, що обмеження часу очікування є випадковою величиною.

Припустимо, що є n-канальна СМО з очікуванням, в якій кількість місць у черзі не обмежена, але час перебування заявки в черзі є деякою випадковою величиною із середнім значенням, таким чином, на кожну заявку, яка стоїть у черзі, діє свого роду пуасонівський. потік доглядів» з інтенсивністю:

Якщо цей пуасонівський потік, то процес, що протікає в СМО, буде марківським. Знайдемо йому ймовірності станів. Нумерація станів системи пов'язується з кількістю заявок у системі - як обслуговуваних, так і стоять у черзі:

немає черги:

Усі канали вільні;

Зайнятий один канал;

Зайнято два канали;

Зайняті всі n-каналів;

є черга:

Зайняті всі n-каналів, одна заявка стоїть у черзі;

Зайняті всі n-каналів, r-заявок стоять у черзі тощо.

Граф станів та переходів системи показаний на рис. 23.

Мал. 23. СМО з обмеженим часом очікування

Розмітимо цей граф, як і раніше; у всіх стрілок, що ведуть зліва направо, стоятиме інтенсивність потоку заявок. Для станів без черги у стрілок, що ведуть з них справа наліво, буде, як і раніше, стояти сумарна інтенсивність потоку обслуговування всіх зайнятих каналів. Що стосується станів з чергою, то у стрілок, що ведуть з них справа наліво, стоятиме сумарна інтенсивність потоку обслуговування всіх n-каналів плюс відповідна інтенсивність потоку відходів з черги. Якщо в черзі стоять r-заявок, то сумарна інтенсивність потоку догляду дорівнюватиме .

Як видно з графа, має місце схема розмноження та загибелі; застосовуючи загальні вирази для граничних ймовірностей станів у цій схемі (використовуючи скорочені позначення, запишемо:

(24)

Зазначимо деякі особливості СМО з обмеженим очікуванням порівняно з раніше розглянутими СМО з «терплячими» заявками.

Якщо довжина черги не обмежена і заявки «терплячі» (не йдуть з черги), то стаціонарний граничний режим існує лише у разі (при відповідній нескінченній геометричній прогресії розходиться, що фізично відповідає необмеженому зростанню черги при ).

Навпаки, в СМО з «нетерплячими» заявками, що йдуть рано чи пізно з черги, режим обслуговування, що встановився, досягається завжди, незалежно від наведеної інтенсивності потоку заявок . Це випливає з того, що ряд для знаменника формули (24) сходиться при будь-яких позитивних значеннях і .

Для СМО з «нетерплячими» заявками поняття «імовірність відмови» не має сенсу – кожна заявка стає в чергу, але може і не дочекатися обслуговування, пішовши раніше.

Відносна пропускна спроможність, середня кількість заявок у черзі. Відносну пропускну здатність q такий СМО можна підрахувати в такий спосіб. Очевидно, обслуговуватимуться всі заявки, окрім тих, які підуть із черги достроково. Підрахуємо, яка в середньому кількість заявок залишає чергу достроково. Для цього обчислимо середню кількість заявок у черзі:

На кожну з цих заявок діє «потік догляду» з інтенсивністю. Значить, із середнього числа -заявок у черзі в середньому йтиме, не дочекавшись обслуговування, -заявок в одиницю часу і всього в одиницю часу в середньому обслуговуватиметься -заявок. Відносна пропускна здатність СМО складатиме:

Середню кількість зайнятих каналів, як і раніше, отримуємо, ділячи абсолютну пропускну здатність А на :

(26)

Середня кількість заявок у черзі. Співвідношення (26) дозволяє обчислити середню кількість заявок у черзі, не підсумовуючи нескінченного ряду (25). З (26) отримуємо:

а середнє число зайнятих каналів, що входить у цю формулу, можна знайти як математичне очікування випадкової величини Z, що приймає значення 0, 1, 2,..., n з ймовірностями ,:

На закінчення зазначимо, що й у формулах (24) перейти до межі при (чи, що те, при ), то при вийдуть формули (22), т. е. «нетерплячі» заявки стануть «терплячими».

До цих пір ми розглядали системи, в яких вхідний потік ніяк не пов'язаний із вихідним. Такі системи називаються розімкненими. У деяких випадках обслужені вимоги після затримки знову надходять на вхід. Такі СМО називаються замкнутими. Поліклініка, що обслуговує цю територію, бригада робітників, закріплена за групою верстатів, є прикладами замкнутих систем.

У замкнутій СМО циркулює одне й те саме кінцеве число потенційних вимог. Поки потенційна вимога не реалізувалася як вимога на обслуговування, вважається, що вона знаходиться у блоці затримки. У момент реалізації воно надходить у саму систему. Наприклад, робітники обслуговують групу верстатів. Кожен верстат є потенційною вимогою, перетворюючись на реальне на момент своєї поломки. Поки верстат працює, він знаходиться у блоці затримки, а з моменту поломки до моменту закінчення ремонту – у самій системі. Кожен робітник є каналом обслуговування.

Нехай n- Число каналів обслуговування, s- кількість потенційних заявок, n <s , - Інтенсивність потоку заявок кожної потенційної вимоги, μ - Інтенсивність обслуговування:

Імовірність простою системи визначається формулою

Р 0 = .

Фінальні ймовірності станів системи:

P k= при k = при .

Через ці ймовірності виражається середня кількість зайнятих каналів

=P 1 + 2P 2 +…+n(P n +P n+ 1 +…+P s)або

=P 1 + 2P 2 +…+(n- 1)P n- 1 +n( 1-P 0 -P 1 -…-P n-1 ).

Через знаходимо абсолютну пропускну здатність системи:

а також середня кількість заявок у системі

М=s-=s-.

Приклад 1. На вхід триканальної СМО з відмовами надходить потік заявок з інтенсивністю =4 заявки за хвилину, час обслуговування заявки одним каналом tобсл =1/μ =0,5 хв. Чи вигідно з погляду пропускної спроможності СМО змусити всі три канали обслуговувати заявки відразу, причому середній час обслуговування зменшується втричі? Як це позначиться на середньому часі перебування заявки до СМО?

Рішення.Знаходимо можливість простою триканальної СМО за формулою

ρ = /μ =4/2=2, n=3,

Р 0 = = = 0,158.

Імовірність відмови визначаємо за формулою:

Р відк = Р n ==

Pвідк = 0,21.

Відносна пропускна спроможність системи:

Р обсл = 1-Р відк 1-0,21=0,79.

Абсолютна пропускна спроможність системи:

А = Р обсл 3,16.

Середня кількість зайнятих каналів визначаємо за формулою:

1,58, частка каналів, зайнятих обслуговуванням,

q = 0,53.

Середній час перебування заявки в СМО знаходимо як ймовірність того, що заявка приймається до обслуговування, помножену на середній час обслуговування: t СМО 0,395 хв.

Поєднуючи всі три канали в один, отримуємо одноканальну систему з параметрами μ= 6, ρ= 2/3. Для одноканальної системи ймовірність простою:

Р 0 = = =0,6,

ймовірність відмови:

Р відк = ρ Р 0 = = 0,4,

відносна пропускна здатність:

Р обсл = 1-Р відк =0,6,

абсолютна пропускна спроможність:

А = Робсл =2,4.

t СМО =Р обсл= = 0,1 хв.

В результаті об'єднання каналів в одну пропускну здатність системи знизилася, оскільки збільшилася ймовірність відмови. Середній час перебування заявки у системі зменшився.

Приклад 2. На вхід триканальної СМО з необмеженою чергою надходить потік заявок з інтенсивністю =4 заявки на годину, середній час обслуговування однієї заявки t=1/μ=0,5 год. Знайти показники ефективності роботи системи.

Для аналізованої системи n =3, =4, μ=1/0,5=2, ρ= /μ=2, ρ/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:

Р= .

P 0 = =1/9.

Середню кількість заявок у черзі знаходимо за формулою:

L =.

L = = .

Середній час очікування заявки у черзі вважаємо за формулою:

t= = 0,22 год.

Середній час перебування заявки у системі:

Т=t+ 0,22+0,5=0,72.

Приклад 3. У перукарні працюють 3 майстри, а в залі очікування розташовані 3 стільці. Потік клієнтів має інтенсивність = 12 клієнтів на годину. Середній час обслуговування tобсл = 20 хв. Визначити відносну та абсолютну пропускну спроможність системи, середню кількість зайнятих крісел, середню довжину черги, середній час, який клієнт проводить у перукарні.

Для цього завдання n =3, m =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. Імовірність простою визначаємо за формулою:

Р 0 =.

P 0 = 0,012.

Імовірність відмови в обслуговуванні визначаємо за формулою

Р відк = Р n + m = .

P відк =P n + m 0,307.

Відносна пропускну здатність системи, тобто. ймовірність обслуговування:

P обсл =1-P відк 1-0,307=0,693.

Абсолютна пропускна спроможність:

А = Р обсл 12 .

Середня кількість зайнятих каналів:

.

Середня довжина черги визначається за такою формулою:

L =

L= 1,56.

Середній час очікування обслуговування у черзі:

t= год.

Середня кількість заявок до СМО:

M=L + .

Середній час перебування заявки до СМО:

Т=М/ 0,36 год.

Приклад 4. Робочий обслуговує 4 верстати. Кожен верстат відмовляє з інтенсивністю =0,5 відмови у годину, середній час ремонту t рем=1/μ=0,8 год. Визначити пропускну спроможність системи.

Це завдання розглядає замкнуту СМО, μ =1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. Імовірність простою робітника визначаємо за формулою:

Р 0 =.

P 0 = .

Імовірність зайнятості робітника Р зан = 1-Р 0 . А = ( 1-P 0 )μ =0,85μ верстатів на годину.

Завдання:

Два робітники обслуговують групу з чотирьох верстатів. Зупинки верстата, що працює, відбуваються в середньому через 30 хв. Середній час налагодження становить 15 хв. Час роботи та час налагодження розподілено за експоненційним законом.

Знайдіть середню частку вільного часу кожного робочого і середній час роботи верстата.

Знайдіть ті ж характеристики для системи, в якій:

а) за кожним робітником закріплено два верстати;

б) два робочі завжди обслуговують верстат разом, причому з подвійною інтенсивністю;

в) єдиний несправний верстат обслуговують обидва робітники відразу (з подвійною інтенсивністю), а при появі ще хоча б одного несправного верстата вони починають працювати порізно, причому кожен обслуговує один верстат (спочатку опишіть систему в термінах загибелі та народження).

Рішення:

Можливі такі стани системи S:

S 0 - Всі верстати справні;

S 1 – 1 верстат ремонтується, інші справні;

S 2 – 2 верстат ремонтується, інші справні;

S 3 – 3 верстат ремонтується, інші справні;

S 4 – 4 верстат ремонтується, інші справні;

S 5 - (1, 2) верстати ремонтуються, інші справні;

S 6 - (1, 3) верстати ремонтуються, інші справні;

S 7 - (1, 4) верстати ремонтуються, інші справні;

S 8 – (2, 3) верстати ремонтуються, інші справні;

S 9 - (2, 4) верстати ремонтуються, інші справні;

S 10 - (3, 4) верстати ремонтуються, інші справні;

S 11 - (1, 2, 3) верстати ремонтуються, 4 верстат справний;

S 12 - (1, 2, 4) верстати ремонтуються, 3 верстат справний;

S 13 - (1, 3, 4) верстати ремонтуються, 2 верстат справний;

S 14 - (2, 3, 4) верстати ремонтуються, 1 верстат справний;

S 15 – усі верстати ремонтуються.

Граф станів системи.

Дана система S є прикладом замкнутої системи, тому що кожен верстат є потенційною вимогою, перетворюючись на реальне в момент своєї поломки. Поки верстат працює, він знаходиться у блоці затримки, а з моменту поломки до моменту закінчення ремонту – у системі. Кожен робітник є каналом обслуговування.

Якщо робітник зайнятий, він налагоджує μ-верстатів в одиницю часу, пропускна здатність системи:

Відповідь:

Середня частка вільного часу для кожного робітника - 0,09.

Середній час роботи верстата - 3,64.

а) За кожним робітником закріплено два верстати.

Імовірність простою робітника визначається за формулою:

Імовірність зайнятості робітника:

Якщо робітник зайнятий, він налагоджує μ-верстатів в одиницю часу, пропускна здатність системи:

Відповідь:

Середня частка вільного часу для кожного робітника - 0,62.

Середній час роботи верстата - 1,52.

б) Два робітники завжди обслуговують верстат разом, причому з подвійною інтенсивністю.

в) Єдиний несправний верстат обслуговують обидва робітники відразу (з подвійною інтенсивністю), а при появі ще хоча б одного несправного верстата вони починають працювати порізно, причому кожен обслуговує один верстат (спочатку опишіть систему в термінах загибелі та народження).

Порівняння 5 відповідей:

Найбільш ефективним способом організації робітників за верстатами буде початковий варіант завдання.

Вище було розглянуто приклади найпростіших систем масового обслуговування (СМО). Поняття "найпростіші" не означає "елементарні". Математичні моделі цих систем застосовні та успішно використовуються у практичних розрахунках.

Можливість застосування теорії прийняття рішень у системах масового обслуговування визначається такими факторами:

1. Кількість заявок у системі (яка розглядається як СМО) має бути досить великою (масово).

2. Усі заявки, що надходять на вхід СМО, мають бути однотипними.

3. Для розрахунків за формулами необхідно знати закони, що визначають надходження заявок та інтенсивність їх обробки. Більше того, потоки заявок мають бути Пуассонівськими.

4. Структура СМО, тобто. набір вимог, що надходять, і послідовність обробки заявки, повинна бути жорстко зафіксована.

5. Необхідно виключити із системи суб'єктів чи описувати їх як вимоги з постійною інтенсивністю обробки.

До перерахованих вище обмежень можна додати ще одне, що впливає на розмірність і складність математичної моделі.

6. Кількість пріоритетів, що використовуються, повинна бути мінімальною. Пріоритети заявок би мало бути постійними, тобто. вони можуть змінюватися у процесі обробки всередині СМО.

У ході виконання роботи було досягнуто основної мети – вивчено основний матеріал «СМО з обмеженим часом очікування» та «Замкнуті СМО», яка була поставлена викладачем навчальної дисципліни. Також ми ознайомилися застосуванням отриманих знань практично, тобто. закріпили пройдений матеріал.

1) http://www.5ballov.ru.

2) http://www.studentport.ru.

3) http://vse5ki.ru.

4) http://revolution.

5) Фомін Г.П. Математичні методи та моделі у комерційній діяльності. М: Фінанси та статистика, 2001.

6) Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей та математична статистика. М: Вища школа, 2001.

7) Рад Б.А., Яковлєв С.А. Моделювання систем. М: Вища школа, 1985.

8) Ліфшиц О.Л. Статистичне моделювання СМО. М., 1978.

9) Вентцель О.С. Дослідження операцій. М: Наука, 1980.

10) Вентцель Є.С., Овчаров Л.А. Теорія ймовірностей та її інженерні програми. М: Наука, 1988.

Потоки подій Це послідовність подій, що відбуваються одна за одною у певні інтервали часу. T - середня величина часу між сусідніми подіями Якщо T = const, то події в потоці розподілені рівномірно. - Інтенсивність потоку, тобто середня кількість подій, що відбуваються в одиницю часу.

Потоки подій Стаціонарний Кількість подій, які потрапляють на будь-який довільний інтервал часу не залежить від положення на числовій осі, а залежить тільки від його ширини Без післядії Для будь-яких двох тимчасових інтервалів, що не перетинаються, кількість подій, що потрапляють на один з них, не залежить від того, скільки подій відбулося на іншому інтервалі Регулярний Протилежний потоку без післядії (з післядією)

Потоки подій Ординарний У будь-який момент часу відбувається одна і тільки одна подія, тобто ймовірність появи на нескінченно малому часовому інтервалі двох і більше подій зневажливо мала в порівнянні з ймовірністю появи однієї події Пуассонівський Нестаціонарний, ординарний потік без післядії Найпростіший Стаціонарний, ординарний без післядії, котрій число подій, які виникають протягом часу, розподілено згідно із законом Пуассона, а інтервали часу між двома послідовними подіями характеризуються показовим розподілом. Це стаціонарний пуасонівський потік.

Економічне застосування Сучасні фінансово – банківські операції передбачають погашення заборгованості на виплат, періодичне надходження доходів від інвестицій. Такі послідовність, чи ряд платежів, можна назвати потоком платежів. Потік платежів усі члени якого – позитивні величини, а часові інтервали між платежами однакові, називають фінансовою рентою. Рентою є послідовність отримання відсотків за облігаціями, платежі за споживчим кредитом, виплати на виплат страхових премій. Характеристики потоку платежів: інтервал між двома сусідніми платежами, ймовірність виплати платежу широко застосовуються в різних фінансових розрахунках. Без них неможливо розробити план послідовного погашення заборгованості, виміряти фінансову ефективність проекту, здійснити порівняння чи беззбиткову зміну умов контрактів.

Завдання Для аналізу зміни з часом розміру поточного фонду банку, що займається видачею довгострокових позичок, важливо володіти інформацією про процес надходження до банку виплат за позиками. Спостереження за банком у попередньому періоді показало, що кількість виплат, що надходять до банку, за будь-який проміжок часу не залежить від моменту часу з якого почався відлік проміжку часу, а залежить тільки від його тривалості. Очікуване число виплат до банку протягом тижня дорівнює 2. Досліджуємо, яка ймовірність надходження до банку протягом місяця 7 виплат і знайдемо ймовірність того, що інтервал часу між двома сусідніми виплатами менше 2 днів.

Рішення За умовою завдання потік виплат можна вважати найпростішим з інтенсивністю =2 (за тиждень). Отже, кількість виплат, що надійшли за проміжок часу = 4 тижні (1 місяць), розподілено згідно із законом Пуассона. Інтервали між двома послідовними виплатами в найпростішому потоці мають показовий закон розподілу.

Рішення Нехай X() - дискретна випадкова величина, яка є числом виплат, що надійшли за проміжок часу. Вона розподілена згідно із законом Пуассона. M(X)=D(X)= Тоді - ймовірність того, що за проміжок часу в потоці наступлять точно m подій дорівнює Отже, при інтенсивності потоку виплат =2 ймовірність надходження до банку за місяць (=4) 7 виплат (m=7 ) дорівнює

Рішення Нехай безперервна випадкова величина T – проміжок часу між двома будь-якими сусідніми виплатами (подіями найпростішого потоку). Вона має показовий закон розподілу. M(T)=1/ , D(T)=1/ 2 Тоді можливість P(T

Завдання для самостійного рішення 1. Зазвичай студент приходить на зупинку рівно о 8-й годині ранку і, сівши в перший автобус, що йде в напрямку університету, вчасно прибуває на заняття, які починаються рівно о 9-й ранку. Інтервали руху автобуса становлять у середньому 10 хвилин, а час у дорозі автобуса дорівнює 30 хвилин. Нехай потік автобусів є найпростішим. Знайдіть ймовірність того, що студент все ж таки запізниться на заняття.

Завдання для самостійного рішення 2. Потік заявок, що надходять до певної системи масового обслуговування, досить моделюється найпростішим. При вивченні досвідчених даних розглядалося 200 вибраних навмання проміжків часу довжиною в 2 хв. Виявилося, що кількість тих, у яких не було зареєстровано жодної заявки, дорівнює 27. Знайти математичне очікування та середнє квадратичне відхилення числа заявок за 1 годину.

Основні поняття Під системою S розумітимемо всяку цілісну множину взаємопов'язаних елементів, яку не можна розчленувати на незалежні підмножини. Якщо система S з часом t змінює свої стани S(t) випадковим чином, то кажуть, що у системі S протікає випадковий процес. У будь-який момент часу система перебуває лише в одному із станів, тобто для будь-якого моменту часу t знайдеться єдиний стан Si такий, що S(t) = Si. Безліч станів може бути дискретно (технічний стан об'єкта: справний - несправний, завантажений - перебуває у просте; чисельність персоналу; кількість об'єктів, які очікують обслуговування в черзі) або безперервно (дохід, обсяг виробництва).

Основні поняття У разі дискретної множини станів система змінює свої стани стрибком (миттєво). У разі безперервної множини станів перехід системи відбувається безперервно (плавно). Залежно від часу перебування системи у кожному стані розрізняють процеси з дискретним часом (штучна чисельна сітка часу) та з безперервним часом (фізичний час, перехід системи з одного стану до іншого може здійснюватися у будь-який момент часу). Випадковий процес, що протікає в системі S, називається Марковським, якщо він має властивість відсутності наслідку, що полягає в тому, що для кожного моменту часу t 0 ймовірність будь-якого стану S(t) системи S у майбутньому (при t>t 0) залежить тільки від її стану S(t 0) у цьому (при t=t 0) і залежить від цього, як і скільки часу розвивався цей процес у минулому (при t>t 0).

А. А. Марков (1856 – 1922) Андрій Андрійович Марков – старший – видатний російський математик, який розробив основи теорії випадкових процесів без післядії, які в математиці називають Марківськими процесами на його честь. А. А. Марков - старший відомий також як той, що дав ймовірнісне обґрунтування методу найменших квадратів (МНК), що привів один з доказів граничної теореми теорії ймовірностей і багато іншого.

Види Марківських процесів Дискретні стани та дискретний час (ланцюг Маркова) Безперервні стани та дискретний час (Марківські послідовності) Дискретні стани та безперервний час (безперервний Марківський ланцюг) Безперервні стани та безперервний час. Насправді більшість завдань з Марківським процесам описуються з допомогою Марківських ланцюгів з дискретним чи безперервним часом.

Марковские ланцюга Ланцюгом Маркова називають таку послідовність випадкових подій, у якій ймовірність кожної події залежить від стану, у якому процес перебуває у час і залежить від ранніх станів.

Завдання Марківського ланцюга безліччю станів S = (s 1, …, sn), подією є перехід з одного стану в інший в результаті випадкового випробування вектором початкових ймовірностей (початковим розподілом) p(0) = (p(0)(1), … p(0)(n)), визначальним ймовірності p(0)(i) того, що в початковий момент часу t = 0 процес знаходився в стані si матрицею перехідних ймовірностей P = (pij), що характеризує ймовірність переходу процесу з поточним станом si в наступний стан sj, сума ймовірностей переходів з одного стану дорівнює 1

Види Марківських ланцюгів Марківський ланцюг називається однорідним, якщо перехідні ймовірності від часу не залежать, тобто від кроку до кроку (k+1) не змінюються. Марківські ланцюги, що розкладаються, містять безповоротні стани, звані поглинаючими. З поглинаючого стану не можна перейти в жодне інше. На графі поглинаючому стану відповідає вершина, з якої не виходить жодна дуга. Ергодичні Марківські ланцюги описуються сильно пов'язаним графом. У такій системі можливий перехід із будь-якого стану в будь-який стан за кінцеве число кроків.

Мета моделювання - визначити ймовірність системи знаходиться в j-му стані після k-го кроку. Позначимо цю ймовірність - однорідний Марківський ланцюг - неоднорідний Марківський ланцюг

Завдання № 1 Деяка сукупність робочих сімей поділена на три групи: 1 – сім'ї, що не мають автомашини і не мають наміру її придбати; 2 – сім'ї, які мають автомашини, але які збираються її придбати, і, нарешті, 3 – сім'ї, мають автомашину. Статистичні обстеження дали можливість оцінити можливість переходу сімей з однієї групи протягом року в іншу. При цьому матриця переходу виявилася такою:

Завдання № 1 Знайти: а) ймовірність того, що сім'я, яка не мала машини і не збиралася її придбати, перебуватиме в тій самій ситуації через 2 роки; б) ймовірність того, що сім'я, яка не мала автомашини і має намір придбати її, матиме автомашину через 2 роки. (Виконати рішення пункту (б) даної задачі самостійно)

Розв'язання задачі № 1 а) Дано: тобто вектор початкових ймовірностей p(0)=(1, 0, 0) (зараз система у стані 1) Знайти: (через 2 роки у стані 1) Знайдемо ймовірність системи опинитися в кожному станів через 1 рік (множення вектора початкових ймовірностей на 1 стовпець матриці перехідних ймовірностей) (множення вектора початкових ймовірностей на 2 стовпець матриці перехідних ймовірностей) (множення вектора початкових ймовірностей на 3 стовпець матриці перехідних ймовірностей)

Розв'язання задачі № 1 Отримаємо вектор ймовірностей через 1 рік У нашому випадку це 1-ий рядок матриці перехідних ймовірностей на перший стовпець матриці перехідних ймовірностей)

Розв'язання задачі № 1 Обчислення: Відповідь: ймовірність того, що сім'я, яка не мала машини і не збиралася її придбати, перебуватиме в тій самій ситуації через 2 роки 0,64

Завдання № 2 Припустимо, що фірма здійснює доставку обладнання по Москві: у північний округ (позначимо А), південний (В) і центральний (С). Фірма має групу кур'єрів, що обслуговує ці райони. Зрозуміло, що для здійснення наступної доставки кур'єр їде до району, який на даний момент йому ближче. Статистично було визначено наступне: після здійснення доставки А наступна доставка в 30 випадках здійснюється в А, в 30 випадках - в В і в 40 випадках - в С; після здійснення доставки В наступна доставка в 40 випадках здійснюється в А, в 40 випадках - в В і в 20 випадках - в С; після здійснення доставки С наступна доставка в 50 випадках здійснюється в А, в 30 випадках - в В і в 20 випадках - в С. Таким чином, район наступної доставки визначається тільки попередньою доставкою.

Завдання № 2 Якщо кур'єр стартує із центрального округу, яка ймовірність того, що здійснивши дві доставки, він буде у південному окрузі? Виконайте розв'язання задачі самостійно: Складіть матрицю перехідних ймовірностей Намалюйте граф цього процесу Обчисліть ймовірність

Граничні ймовірності Для ергодичних ланцюгів за досить великому часі функціонування (t прагне нескінченності) настає стаціонарний режим, у якому ймовірності станів системи залежить від часу і залежить від розподілу ймовірностей у початковий час. Такі ймовірності називаються граничними (або фінальними, стаціонарними) ймовірностями станів, вони показують середній відносний час перебування системи у певному стані. Наприклад, якщо гранична можливість i-го стану pi=0. 5, це означає, що у середньому половину часу система перебуває у i-ом стані.

Граничні ймовірності Нехай xi – граничні ймовірності (i=1. n), де n – число станів. Тоді xi є єдиним рішенням системи лінійних рівнянь. До цієї системи входять рівняння:

Приклад Матриця перехідних ймовірностей (число станів n=2) та графічне зображення Марковського процесу: Граничні ймовірності х 1 і х 2 можна знайти, вирішивши систему

Завдання № 3 Дві машини А і В здаються в оренду за тією ж ціною. Ці машини мають такі матриці перехідних ймовірностей: де 1 – стан, коли машина працює добре; 2 – стан, коли машина потребує регулювання. Визначити ймовірність обох машин. Яку машину варто орендувати?

Завдання № 4 Відвідувач банку з наміром отримати кредит проходить низку перевірок (станів): е 1 – оформлення документів; е 2 - кредитна історія; е 3 - Поворотність; е 4 - платоспроможність. За результатами перевірки можливі два результати: відмова у видачі кредиту (е 6) та отримання кредиту (е 5).

Завдання № 4 Потрібно: a) описати цей процес як Марківський ланцюг та побудувати перехідну матрицю (виконати самостійно); б) знайти середній час отримання позитивного та негативного результату (рішення в Excel).

Процес роботи СМО є випадковим процесом. Під випадковим (імовірнісним чи стохастичним) процесом розуміється процес зміни у часі стану будь-якої системи відповідно до ймовірнісних закономірностей.

Процес називається процесом з дискретними станами, якщо його можливі стани S1, S2, S3… можна заздалегідь перерахувати, а переходи системи зі стану до стану відбувається миттєво (стрибком). Процес називається процесом з безперервним часом, якщо моменти можливих переходів системи зі стану не фіксовані заздалегідь, а випадкові.

Процес роботи СМО є випадковим процесом з дискретними станами і безперервним часом.

Випадковий процес називається марковским чи випадковим процесом без наслідки, якщо будь-якого моменту часу t0 імовірнісні характеристики процесу у майбутньому залежать лише з його стану на даний момент t0 і залежить від того, коли як і система прийшла у цей стан.

Приклад марковського процесу: система S – лічильник у таксі. Стан системи на момент t характеризується числом кілометрів, пройдених автомобілем до цього моменту. Нехай у момент t0 лічильник показує S0. Імовірність того, що в момент t>t0 лічильник покаже те чи інше число кілометрів (точніше відповідне число рублів) S1 залежить від S0, але не залежить від того, в які моменти змінювалися показання лічильника до моменту t0.

У ряді випадків передісторією аналізованих процесів можна просто знехтувати і застосовувати для вивчення марківські моделі.

При аналізі випадкових процесів із дискретними станами зручно користуватися геометричною схемою - так званою графом станів. Зазвичай стани системи зображуються прямокутниками (кружками), а можливі переходи зі стану - стрілками (орієнтованими дугами), що з'єднують стану (рис. 1).

Малюнок 1 - Граф станів

Для математичного опису марковського випадкового процесу з дискретними станами та безперервним часом, що протікає в СМО, познайомимося з одним із важливих понять теорії ймовірності – поняттям потоку подій.

Під потоком подій розуміється послідовність однорідних подій, що йдуть одна за одною в якісь випадкові моменти часу

Прикладами можуть бути:

- Потік дзвінків на телефонній станції;

- Потік включень приладів у побутовій електромережі;

- Потік вантажних складів, що надходять на залізничну станцію:

- Потік несправностей (збоїв) обчислювальної машини;

- Потік пострілів, що направляються на ціль.

Потік характеризується інтенсивністю л - частотою появи подій чи середнім числом подій, які у СМО в одиницю часу.

Потік подій називається регулярним, якщо події йдуть одна одною через певні проміжки часу. Такий потік порівняно рідко зустрічається на практиці, але становить певний інтерес як граничний випадок.

Потік подій називається стаціонарним, якщо його ймовірні характеристики не залежать від часу. Зокрема, інтенсивність стаціонарного потоку є постійна величина: .

Потік подій називається потоком без післядії, якщо для будь-яких двох ділянок часу, що не перетинаються, і _ число подій, що потрапляють на один з них, не залежить від числа подій, що потрапляють на інші. Наприклад, потік пасажирів, які входять до метро, практично не має наслідків. А, скажімо, потік покупців, які відходять із покупками від прилавка, вже має наслідки (хоча б тому, що інтервал часу між окремими покупцями не може бути меншим, ніж мінімальний час обслуговування кожного з них).

Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність попадання на малий (елементарний) ділянку часу? Іншими словами, потік подій ординарний, якщо події з'являються в ньому поодинці, а не групами.

Потік подій називається найпростішим (або стаціонарним пуассонівським), якщо він одночасно стаціонарний, ординарен і не має наслідків.

Найпростіший потік як граничний виникає в теорії випадкових процесів настільки ж природно, як у теорії ймовірностей нормальний розподіл виходить при накладенні (суперпозиції) досить великої кількості n незалежних, стаціонарних і ординарних потоків (порівняних між собою за інтенсивністю) виходить потік, близький до найпростішого інтенсивністю л, що дорівнює сумі інтенсивностей вхідних потоків:

Розглянемо на осі часу найпростіший потік подій як необмежену послідовність випадкових точок. (Мал. 2)

Малюнок 2 - Потік подій

Можна показати, що для найпростішого потоку число m подій (крапок), що потрапляють на довільну ділянку часу ф, розподілено за законом Пуассона

для якого математичне очікування випадкової величини дорівнює її дисперсії:

Зокрема, ймовірність того, що за час ф не станеться жодної події (m = 0), дорівнює

Знайдемо розподіл інтервалу часу T між довільними двома сусідніми подіями найпростішого потоку.

Відповідно до формули ймовірність того, що на ділянці часу завдовжки t не з'явиться жодної з наступних подій, дорівнює

а можливість протилежної події, тобто. функція розподілу випадкової величини T, є

Щільність ймовірності випадкової величини є похідною її функції розподілу:

Розподіл, який задається щільністю ймовірності або функцією розподілу, називається показовим (або експоненціальним). Таким чином, інтервал часу між двома сусідніми довільними подіями має показовий розподіл, для якого математичне очікування дорівнює середньому квадратичному відхиленню випадкової величини.

і назад за величиною інтенсивності потоку л.

Найважливіша властивість показового розподілу (притаманна лише показовому розподілу) полягає в наступному: якщо проміжок часу, розподілений за показовим законом, вже тривав деякий час ф, то це ніяк не впливає на закон розподілу частини проміжку (Т-ф), що залишилася: він буде таким же , Як і закон розподілу всього проміжку Т.

Інакше кажучи, для інтервалу часу Т між двома послідовними сусідніми подіями потоку, що має показовий розподіл, будь-які відомості про те, скільки часу протікав цей інтервал, не впливають на закон розподілу частини, що залишилася.

Для найпростішого потоку з інтенсивністю л ймовірність попадання на елементарний (малий) відрізок часу? хоча б однієї події потоку дорівнює згідно

Транскрипт

1 АН Моїсеєв АА Назаров Асимптотичний аналіз високоінтенсивного напівмарківського потоку подій Показано що для аналізованого потоку ніченого зростання інтенсивності потоку може одним з базових елементів систем і мереж масового обслуговування є вхідний потік заявок Сучасні телекомунікаційні мережі та системи розподіленої обробки інформації припускають високу пропускну здатність каналів передачі інформації Таким чином У цих системах кількість пакетів даних, що надходять на обробку в одиницю часу, дуже висока. У термінах теорії масового обслуговування в таких випадках говорять про високу інтенсивність вхідного потоку. властивості високоінтенсивних рекурентних MMPP- і MAPпотоків У цій же роботі представлений аналіз властивостей високоінтенсивного напівмарківського (Semi-Markovian або SM-) потоку як найбільш загальної моделі потоків подій Математична модель Розглянемо напівмарківський потік однорідних подій заданий таким чином марківський процес з дискретним часом Тут ξ n дискретна компонента, що приймає значення від до K τ n безперервна компонента, що приймає невід'ємні значення Вважаємо, що еволюція процесу визначається елементами так званої напівмарківської матриці A (x) = ( Ak ν ) k ν = наступним K чином: x Akν (x) = P ξ n+ = τ n+< ξ n = k N Здесь N некоторая большая величина которая введена искусственно чтобы явным образом подчеркнуть малость величин τ n В теоретических исследованиях будем полагать N и таким образом τ n На практике полученные результаты можно использовать для аппроксимации соответствующих величин при достаточно больших значениях N (в условии высокой интенсивности потока) Пусть в момент времени t = произошло изменение состояния процесса {ξ n τ n } Последовательность моментов времени t n определяемая рекуррентным выражением tn+ = tn+τ n+ для n = называется полумарковским потоком случайных событий определяемым полумарковской матрицей A(x) Процесс ξ n =ξ(t n) называют вложенной в полумарковский поток цепью Маркова Поскольку средняя длина интервалов τ n обратно пропорциональна N то при N интенсивность наступления событий в таком потоке будет неограниченно расти Такой поток событий будем называть высокоинтенсивным полумарковским или HISM-потоком (от High-Intensive Semi- Markovian) Ставится задача нахождения числа событий m(t) наступивших в этом потоке в течение интервала времени (t) Вывод уравнений Колмогорова Пусть z(t) длина интервала времени от момента t до момента наступления следующего события в потоке; k(t) случайный процесс значения которого на каждом из интервалов = () Отсюда получаем матричное дифференциальное уравнение относительно функции R(z): R (z) = R ()[ I A (z) ] (3) граничное условие для которого при z имеет вид R () = λr (4) где λ некоторый коэффициент вектор-строка r есть стационарное распределение состояний вложенной цепи Маркова Этот вектор является решением уравнения Колмогорова r= r P где P= lim A (z) есть стохастическая матрица определяющая вероятности переходов вложенной цепи z Маркова Таким образом решение уравнения (3) имеет вид z R() z = R ()[ I A () x ] dx (5) Пусть R= R () есть стационарное распределение значений полумарковского процесса k(t) тогда при z из (5) получаем R= R ()[ I A(x) ] dx=λ r[ I A(x) ] dx=λr [ P A(x) ] dx=λra (6) где A матрица с элементами Akν = [ Pkν Akν(x) ] dx Умножая левую и правую части равенства (6) на единичный вектор-столбец E получим RE = =λrae откуда находим значение коэффициента λ: λ= (7) rae Доклады ТУСУРа 3 (9) сентябрь 3

3 АН Моїсеєв АА Назаров Асимптотичний аналіз високоінтенсивного напівмарківського потоку jum Введемо позначення Hkuzt () = e Pkmzt () де j = уявна одиниця а u деяка змінна Помножуючи () на e jum і підсумовуючи по m від до отримуємо m= ) Hku (t) K ju Hku (t) = + e Aν k (z) N ν= З урахуванням позначення у вигляді вектора рядка H(u z t) = (H(u z t) H(K u z t)) дане рівняння набуде вигляду H(uzt) H(uzt) H(u t) ju = + e A(z) I (8) N Диференціальне матричне рівняння (8) вирішуватимемо асимптотично методом за умови необмежено зростаючої інтенсивності λn аналізованого напівмарківського потоку при N Асимптотика першого порядку Введемо позначення N = u = ε w H (uzt) = F (wzt ε) З (8) отримаємо F (wzt ε) F (wzt ε) F (w t ε) jwε ε = + e A (z) I ( 9) Теорема Асимптотичне рішення F(wzt) = lim F (wzt ε) рівняння (9) має вигляд ε () () jw λ F wzt = R ze t () де R(z) визначається виразом (5) Доказ Виконаємо в (9) граничний перехід отримаємо рівняння F(wzt) F(w t) = + [ A(z) I ] яке має вигляд аналогічний () Отже функцію F (w z t) можна представити у вигляді F(wzt) = R (z) Φ(wt) () де Φ (w t) деяка скалярна функція Виконаємо в (9) граничний перехід z та підсумуємо всі компоненти цього рівняння (для цього помножимо праворуч обидві його частини на одиничний вектор-стовпець E) Отримаємо F(w t ε) F (w t ε) ε E = e P I E Підставимо сюди вираз () скористаємося розкладанням e = + jε w+ O(ε) поділимо обидві частини на ε і зробимо граничний перехід ε: Φ(wt) RE = jwr() PE Φ(wt) звідки з урахуванням (4) отримуємо диференціальне рівняння щодо функції Φ (w t): Φ(wt) = jwλφ (wt) Вирішуючи це рівняння за початкової умови Φ (w) = отримуємо рішення jwλt Φ (wt) = e Підставимо цей вираз у ( ) отримаємо () Теорема доведена ju Nt Асимптотика другого порядку Виконаємо в (8) заміну H(uzt) = H(uzte) λ: H(uzt) H(uzt) H(u t) ju + ju λ H(u z t) = + e A(z) I () N Введемо позначення N = u = ε w H(uzt) = F (wzt ε) (3) Доповіді ТУСУРу 3 (9) вересень 3

4 УПРАВЛІННЯ ВИЧИСЛЮВАЛЬНА ТЕХНІКА ТА ІНФОРМАТИКА Тоді () перепишеться у вигляді F(wzt ε) F(wt ε) ε + λf (wzt ε) = + e A(z) I (4) Теорема Асимптичне рішення wzt) = lim F (wzt ε) рівняння (4) має вигляд ε (jw) F (wzt) = R (z)exp (λ+κ) t (5) де R(z) визначається виразом (5) κ= fe (6) вектор-рядок f задовольняє системі лінійних рівнянь алгебри f I P = rp λ a (7) f AE = a = rae A = x da (x) Доказ Виконаємо в (4) граничний перехід ε отримаємо рівняння F( wzt) F(w t) = + [ A(z) I ] яке має вигляд аналогічний () Отже функцію F (w z t) можна представити у вигляді F(wzt) = R (z) Φ(wt) (8) де Φ ( w t) деяка скалярна функція Розв'язання рівняння (4) шукатимемо у вигляді розкладання F(wzt ε) =Φ (wt) R(z) + jε wf (z) + O(ε) (9) де f(z) деяка вектор -функція (рядок) Підставляючи цей вираз у (4) і застосовуючи розкладання e = + jε w+ O(ε) після деяких перетворень отримаємо ( ) λφ (wt) R() z=φ (wt) R() z+ f () z+ R() A() z I + R() A() z+ f () A() z I+ A () z + O(ε) Враховуючи (3) (4) поділивши обидві частини на jεw і скорочуючи Φ ( w t) отримуємо λ R(z) = f (z) + λ ra(z) + f ()[ A(z) I ] + O(ε) Звідси при ε отримуємо диференціальне рівняння щодо невідомої векторної функції f(z) f ( z) = f ()[ I A(z) ] λ[ ra(z) R (z) ] інтегруючи яке за початкової умови f() = отримуємо вираз z f(z) = ( f ()[ I A(x) ] λ [ ra(x) R (x) ]) dx () Шукатимемо f(z) у класі функцій, що задовольняють умові lim ( f ()[ I A(x) ] λ[ ra(x) R (x) ]) = x Звідси отримуємо f ()[ I P] λ[ rp R ] = () Віднімаючи ліву частину цієї рівності з підінтегрального виразу () з урахуванням (6) отримуємо f() = f () A+λrA λ [ R R (x) ] dx () Можна показати що [ R R (x) ] dx= λ ra де A = x da (x) З огляду на це помножуючи обидві частини () праворуч на одиничний вектор E отримаємо Доповіді ТУСУРу 3 (9) вересень 3

5 АН Моїсеєв АА Назаров Асимптотичний аналіз високоінтенсивного напівмарківського потоку 3 λ a [ f () A f()] E = (3) де a = rae Вважаючи що f() E = і позначаючи f = f () з () та ( 3) отримуємо систему рівнянь (7) Виконаємо в (4) граничний перехід z та домножимо обидві частини рівняння на E право отримаємо F(w t ε) jw (w t) jw jw (w t) E+ ε λf ε E = P I E = E (e) () 3 Підставимо сюди (9) і застосуємо розкладання e = + jε w+ + O(ε) отримуємо Φ(wt) (jεw) 3 ε RE+ λφ (wt) RE = Φ (wt)[ R () + f ()] E jw ε + + O(ε) Наводячи подібні скорочуючи на ε використовуючи позначення (6) і переходячи до межі при ε отримуємо наступне диференціальне рівняння щодо невідомої функції Φ (w t): Φ(wt) (jw) = Φ(wt) (λ+κ) (jw) вирішуючи яке за початкової умови Φ (w) = отримуємо Φ (wt) = exp (λ+κ) t Підставляючи цей вираз у (8) одержуємо (5) Теорема доведена Апроксимація розподілу числа подій, що настали в HISM-потоку Виконуючи в (5) заміни зворотні до (3) і повертаючись до функції H(u z t) отримуємо (ju) H(u z t) R (z)exp juλ Nt + (λ+κ) Nt Таким чином характеристична функція числа подій, що настали у високоінтенсивному напівмарківському потоці, протягом часу t задовольняє співвідношенню (ju) hut () = H(u t) E exp juλ Nt+ (λ+κ) Nt Тобто при досить великих значеннях N розподіл числа подій, що настали в HISM-потоці за час t, може бути апроксимований нормальним розподілом з математичним очікуванням λnt і дисперсією (λ + κ)nt де λ і κ визначаються виразами (7) і (6) Чисельні результати Як приклад для чисельних розрахунків розглянемо задачу моделювання подій у високоінтенсивному напівмарківському потоці заданому напівмарківською матрицею A(x) третього порядку, записаної у формі A(x) = P * G(x) де P стохастична матриця; G(x) матриця складена з деяких функцій розподілу; операція * адамаровий добуток матриць Розглянемо приклад коли елементи матриці G(x) відповідають функціям гамма-розподілу з параметрами форми α kν і масштабу β kν k ν = 3 які представимо у вигляді матриць α і β відповідно Виберемо наступні конкретні значення параметрів: P = 3 5 α = 5 4 β = У результаті розрахунків набули такі значення параметрів: λ 99; κ 96 Для цього завдання було виконано імітаційне моделювання потоку при значеннях N = 3 і побудовано емпіричні розподілу числа подій в інтервалах довжини t = Ряди розподілів емпіричних даних і відповідних апроксимацій для N = і N = представлені графічно на рис (для інших значень N графіки збігаються і на малюнку стають невиразними) Доповіді ТУСУРу 3 (9) вересень 3

6 4 4 УПРАВЛІННЯ ВИЧИСЛЮВАЛЬНА ТЕХНІКА ТА ІНФОРМАТИКА 5 8 N = N = Рис Порівняння полігону відносних частот емпіричного розподілу () та апроксимуючого ряду розподілу () Для оцінки точності апроксимації розподілу будем використовувати Fx F q (x) емпірична функція розподілу F(x) функція x розподілу нормальної випадкової величини зі знайденими вище характеристиками У таблиці представлені Залежність якості апроксимації від величини N N δ відносні похибки обчислення математичного a δ D D q 8% 6% 464 δ D а також відстань Колмогорова D q для розглянутих випадків 9% 7% % 5% На рис представлений графік демонструючий % 4% 44 спадання Колмогорова між емпіричним і 8% % аналітичним (нормальним) розподілами зі зростанням значення N D q Можна помітити що вже при 5 N > 3 досягається досить висока якість гауссівської апроксимації числа подій у розглянутому високоінтенсивному напівмар- 4 ковському потоці (відстань Колмогорова не перевищує) 3 Рис Зміна відстані Колмогорова D q залежно від інтенсивності потоку (логарифмічна шкала за N) N Висновок дослідження високоінтенсивного напівмарківського потоку подій Показано що в умови необмеженого зростання його інтенсивності розподіл числа подій настали в даному потоці протягом інтервалу часу фіксованої довжини може бути апроксимовано нормальним розподілом У роботі отримані параметри цього розподілу Розглянуті числові приклади демонструють застосовність отриманих асим- Аналогічні результати були отримані раніше та для інших типів високоінтенсивних потоків: рекурентного MMPP MAP Доповіді ТУСУРу 3 (9) вересень 3

7 АН Моїсеєв АА Назаров Асимптотичний аналіз високоінтенсивного напівмарківського потоку 5 Література Гнеденко БВ Введення в теорію масового обслуговування / БВ Гнеденко ІН Коваленко 4-е вид испр М: Вид-во ЛКІ 7 4 з Грачів ВВ Багатофазна модель масового обслуговування Грачов АН Моїсеєв А.А. P Moiseev Investigation of High Intensive Markov-Modulated Poisson Process / A Moiseev A Nazarov // Proc of International Conference On Application of Information and Communication Technology and Statistics in Economy and Education (ICAICTSEE-) Sofia: University of National And World Economy P Моїсеєв АН Дослідження високоінтенсивного MAP-потоку / АН Моїсеєв АА Назаров // Изв Том політехн ун-ту 3 Т 3 З Королюк НД Стохастичні моделі систем Київ: Наук думка з 7 Назаров АА Теорія ймовірностей та випадкових процесів: навчальний посібник / АА Назаров Терпугов -е вид випр Томськ: Вид-во НТЛ 4 з 8 Назаров АА Метод асимптотичного аналізу в теорії масового обслуговування / АА Назаров СП Моїсеєва Томськ: Вид-во НТЛ 6 з 9 Корн Г Довідник з математики для науковців та інженерів / Г Корн Т Корн М: Наука з Риков ВВ Математична статистика та планування експерименту: навчальний посібник / ВВ Риков ВЮ Іткін М: МАКС Прес 38 з Мойсеєв Олександр Миколайович Канд техн наук доцент каф програмної інженерії Томського державного університету (ТДУ) Тел: 8 (38-) Ел пошта: Назаров Анатолій Андрійович Д-р техн наук професор зав каф теорії ймовірностей та математичної статистики ТГУ Тел: 8 (38-) Ел пошта: Moiseev AN Nazarov AA -Інтенсивний semi-markovian arrival process is presented in the paper It is shown that a distribution of number arrivals in the process during some period under asymptotic condition of infinity rows of process rate can approximated by normal distribution Characteristics approximation are obtained as well The analytical results are supported by numeric examples Keywords: high-intensive arrival process semi-markovian process asymptotic analysis Доповіді ТУСУРа 3 (9) вересень 3

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ. Баласанян С.Ш. Стратифікована модель для оцінки та аналізу ефективності функціонування складних технологічних систем з багатьма станами // Вісті Томського політехнічного

АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛІЗ РОЗІМКНУТОЇ НЕМАРКІВСЬКОЇ МЕРЕЖІ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ HIMMPP (GI) K А. Назаров, А. Моїсеєв Томський державний університет Томськ, Росія [email protected]У роботі представлено

ВЕСТНИК ТОМСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО УНІВЕРСИТЕТУ 2008 Управління обчислювальна техніка та інформатика 3(4) УДК 6239; 592 СВ Лопухова ДОСЛІДЖЕННЯ ММР-ПОТОКУ АСИМПТОТИЧНИМ МЕТОДОМ -го ПОРЯДКУ У роботі розглядається

С.А. Матвєєв, О.М. Моїсеєв, А.А. Назарів. Використання методу початкових моментів 9 УДК 59.87 С.А. Матвєєв, О.М. Моїсеєв, А.А. Назаров Застосування методу початкових моментів на дослідження багатофазної системи

ВЕСТНИК ТОМСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО УНІВЕРСИТЕТУ 7 Управління обчислювальна техніка та інформатика УДК 5987 ТА Карлиханова МЕТОД ПРОСІЯНОГО ПОТОКУ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМИ GI/GI/ Для системи масового обслуговування

УДК 6.39; 59. С.В. Лопухова А.А. Назаров ДОСЛІДЖЕННЯ БЕРЕЗ-ПОТОКУ МЕТОДОМ АСИМПТОТИЧНОГО АНАЛІЗУ N-го ПОРЯДКУ Розглядається БЕРЕЗ-ПОТІК. Виконано дослідження даного потоку методом асимптотичного

ВЕСТНИК ТОМСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО УНІВЕРСИТЕТУ 8 Управління обчислювальна техніка та інформатика 4(5) МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ УДК 59.87 В.А. Вавілов А.А. Назаров МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕСТІЙКИХ

Філія Кемеровського державного університету у м. Анжеро-Судженську Національний дослідний Томський державний університет Кемеровський державний університет Інститут проблем управління

ВЕСТНИК ТОМСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО УНІВЕРСИТЕТУ Управління обчислювальна техніка та інформатика 3() УДК 59.87 І.А. Іванівська С.П. Моїсеєва ДОСЛІДЖЕННЯ МОДЕЛІ ПАРАЛЕЛЬНОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ КРАТНИХ ЗАЯВОК

ВЕСТНИК ТОМСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО УНІВЕРСИТЕТУ 2011 Управління, обчислювальна техніка та інформатика 3(16) ОБРОБКА ІНФОРМАЦІЇ УДК 519.872 І.Л. Лапатін, А.А. Назаров ХАРАКТЕРИСТИКИ МАРКІВСЬКИХ СИСТЕМ МАСОВОГО

А.А. Назаров І.А. Семенова. Порівняння асимптотичних та дограничних характеристик 187 УДК 4.94:519.872 О.О. Назаров І.А. Семенова Порівняння асимптотичних та дограничних характеристик системи МАР/М/

Філія Кемеровського державного університету в Анжеро-Судженську Національний дослідний Томський державний університет Кемеровський державний університет Інститут проблем управління

Статистична радіофізика та теорія інформації Лекція 7 8.Марківські ланцюги з безперервним часом Марківські ланцюги з безперервним часом являють собою марківський випадковий процес Xt, що складається з

ВЕСТНИК ТОМСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО УНІВЕРСИТЕТУ 9 Управління обчислювальна техніка та інформатика (7) МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ УДК 5987 ВА Вавилів МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕУСТОЙ

РОЗДІЛ 5. МАРКІВСЬКІ ПРОЦЕСИ З НЕПРЕРИВНИМ ЧАСОМ І ДИСКРЕТНИМ МНОЖЕННЯМ СТАН В результаті вивчення даного розділу студенти повинні: знати визначення та властивості Марківських процесів з безперервним

На правах рукопису Задиранова Любов Олександрівна ДОСЛІДЖЕННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ПОТОКІВ У БЕЗКОНЕЧНОЛІНІЙНИХ СМО З ПОВТОРНИМ ОБСЛУГОВУВАННЯМ ВИМОГ 05.13.18 Математичне моделювання, чисельні

ВЕСТНИК ТОМСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО УНІВЕРСИТЕТУ 7 Управління обчислювальна техніка та інформатика УДК 59 НВ Степанова АФ Терпугів УПРАВЛІННЯ ЦІНОЮ ПРИ ПРОДАЖІ ПРОДУКЦІЇ СКОРОПОРТНОЇ Розглядається управління

ВЕСТНИК ТОМСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО УНІВЕРСИТЕТУ Управління, обчислювальна техніка та інформатика () УДК 59.865 К.І. Лівшиць, Я.С. Бублик ІМОВІРНІСТЬ РОЗОРЕННЯ СТРАХОВОЇ КОМПАНІЇ ПРИ ДВАЖДИ СТОХАСТИЧНОМУ

УДК 6-5 Спектральні характеристики лінійних функціоналів та їх застосування до аналізу та синтезу стохастичних систем управління К.А. Рибаков У статті вводиться поняття спектральних лінійних характеристик

На правах рукопису Лапатін Іван Леонідович ДОСЛІДЖЕННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛІВ ВИХОДНИХ ПОТОКІВ СИСТЕМ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ З НЕОБМЕЖЕНИМ ЧИСЛОМ ПРИЛАДІВ 05.13.18 Мате

Зміст Глава Випадкові процеси Простий однорідний ланцюг Маркова Рівняння Маркова Простий однорідний ланцюг Маркова 4 Властивості матриці переходу 5 Чисельний експеримент: стабілізація розподілу ймовірностей

ІНСТИТУТ ВИЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ ТА МАТЕМАТИЧНОЇ ГЕОФІЗИКИ СИБІРСЬКОГО ВІДДІЛЕННЯ РОСІЙСЬКОЇ АКАДЕМІЇ НАУК МАРЧУКІВСЬКІ НАУКОВІ ЧИТАННЯ 017 5 червня 14 липня 01

ДОСЛІДЖЕННЯ RQ-СИСТЕМИ M GI 1 МЕТОДОМ АСИМПТОТИЧНОГО АНАЛІЗУ В УМОВІ ВЕЛИКОГО ЗАВАНТАЖЕННЯ Є. Моїсеєва, А. Назаров Томський державний університет Томськ, Росія [email protected]У роботі розглянуто

УДК 6-5:59 НС Дьомін СВ Рожкова ОВ Рожкова ФІЛЬТРАЦІЯ В ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМАХ ЗА НЕПРЕРИВНО-ДИСКРЕТНИМИ СПОСТЕРЕЖЕННЯМИ З ПАМ'ЯТЮ ПРИ НАЯВНОСТІ АНОМАЛЬНИХ ПЕРЕШКОД ІІ-НЕПР

Чисельні методи Тема 2 Інтерполяція В І Пасхальний 2011 2012 рік 1 Поняття інтерполяції Інтерполяція це спосіб наближеного або точного знаходження будь-якої величини за відомими окремими значеннями

Український математичний вiсник Том 5 (28), 3, 293 34 Про крайові завдання для звичайного диференціального оператора з матричними коефіцієнтами Анна В Агібалова (Представлена М М Маламудом) Анотація

Лекція 2. Статистика першого типу. Точені оцінки та їх властивості Буре В.М., Грауер Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауер Л.В. (Крок) Лекція 2. Статистики першого типу. Точечені Санкт-Петербург,

Управління обчислювальна техніка та інформатика УДК 6-5:59 ДОСЛІДЖЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ ДИСКРЕТНОГО КАНАЛУ СПОСТЕРЕЖЕННЯ З ПАМ'ЯТЬЮ В ЗАВДАННІ ЕКСТРАПОЛЯЦІЇ НС Дьомін ОВ Рожкова* Томський державний університет

Статистична радіофізика та теорія інформації Лекція 6 7. Марківські* випадкові процеси та марківські ланцюги. *Марков Андрій Андрійович (нар. 1890) російський математик, академік Марковський випадковий процес

Сибірський математичний журнал Липень серпень, 2003 Том 44, 4 УДК 51921+5192195 ПРО КОМПОНЕНТИ ФАКТОРИЗАЦІЙНОГО ПРЕДСТАВЛЕННЯ ДЛЯ ЧАСУ ПЕРЕБУВАННЯ СЛУЧАЙ СЛУЧАЙ

На правах рукопису Горбатенко Ганна Євгенівна ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ З КОРЕЛЬОВАНИМИ ПОТОКАМИ У СПЕЦІАЛЬНИХ МЕЖОВИХ УМОВАХ 05.13.18 Математичне моделювання, чисельність

Управління обчислювальна техніка та інформатика УДК 59. ІНФОРМАЦІЙНИЙ АСПЕКТ У СПІЛЬНОМУ ЗАВДАННІ НЕПРЕРИВНО-ДИСКРЕТНОЇ ФІЛЬТРАЦІЇ ТА ІНТЕРПОЛЯЦІЇ. АНАЛІЗ С.В. Рожкова О.В. Рожкова Томський політехнічний

Сибірський математичний журнал Липень серпень, 2005. Том 46, 4 УДК 519.21 ПРО ФАКТОРИЗАЦІЙНІ ПРЕДСТАВЛЕННЯ У ГРОНИЧНИХ ЗАВДАННЯХ ДЛЯ ВИПАДКОВИХ БРОКІВ, ЗАВДАНИЙ НА ЛОП.

Лекція 3 Стійкість рівноваги і руху системи При розгляді рухів рівняння збуреного руху, що встановилися, запишемо у вигляді d dt A Y де вектор-стовпець квадратна матриця постійних коефіцієнтів

Глава 1 Диференціальні рівняння 1.1 Поняття диференційному рівнянні 1.1.1 Завдання, які призводять до диференціальних рівнянь. У класичній фізиці кожній фізичній величині ставиться у відповідність

Лекція ХАРАКТЕРИСТИЧНА ФУНКЦІЯ МЕТА ЛЕКЦІЇ: побудувати метод лінеаризації функцій випадкових величин; запровадити поняття комплексної випадкової величини та отримати її числові характеристики; визначити характеристичну

Моделювання систем з використанням Марківських випадкових процесів Основні поняття Марківських процесів Функція X(t) називається випадковою, якщо її значення за будь-якого аргументу t є випадковою величиною.

1. КІНЦЕВІ ОДНОРОДНІ ЛАНЦЮГИ МАРКОВА Розглянемо послідовність випадкових величин ξ n, n 0, 1,..., кожна з яких розподілена дискретно і приймає значення з однієї й тієї ж множини (x 1,...,

Розділ 6 Основи теорії стійкості Лекція Постановка задачі Основні поняття Раніше було показано, що розв'язання задачі Коші для нормальної системи ОДУ = f, () безперервно залежить від початкових умов при

Знайдені таким чином рішення утворюють фундаментальну систему рішень і, отже, загальне рішення системи має вигляд або докладніше.

Структурна надійність. Теорія та практика Каштанов В.А. УПРАВЛІННЯ СТРУКТУРОЮ У МОДЕЛЯХ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ І НАДІЙНОСТІ З використанням керованих напівмарківських процесів досліджується оптимальна

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СТРАХОВОЇ КОМПАНІЇ У ВИГЛЯДІ СИСТЕМИ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ M M І. Синякова, С. Моїсеєва Національний дослідницький Томський державний університет Томськ, Росія [email protected]

УДК 59. ТЕОРЕМА РОЗДІЛУ У ВИПАДКУ СПОСТЕРЕЖЕНЬ З ПАМ'ЯТЬЮ Н.С. Дьомін, С.В. Рожкова Томський державний університет Томський політехнічний університет E-mail: [email protected]Наводиться доказ

За умовою теореми L B (m Тоді через лінійність оператора L маємо: m m m L L ] B [ Системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами Власні значення та власні вектори

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ Калашнікова ТБ Извеков НЮ Інтеграція методу орієнтації на попит у систему ціноутворення мережі роздрібної торгівлі // Вісті Томського політехнічного університету Т 3 6 С 9 3 Фомін

ІНСТИТУТ ВИЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ ТА МАТЕМАТИЧНОЇ ГЕОФІЗИКИ СИБІРСЬКОГО ВІДДІЛЕННЯ РОСІЙСЬКОЇ АКАДЕМІЇ НАУК МАРЧУКІВСЬКІ НАУКОВІ ЧИТАННЯ 217 25 червня 14 липня 21

ТЕМА 7. Випадкові процеси. Мета контенту теми 7 дати початкові поняття про випадкові процеси та ланцюги Маркова зокрема; окреслити коло економічних завдань, які використовують у своєму рішенні моделі,

Лекція 4. Довірчі інтервали Буре В.М., Грауер Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауер Л.В. (ШАД) Лекція 4. Довірчі інтервали Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Зміст Зміст 1 Довірчі

Сибірський математичний журнал Січень лютий, 2. Том 41, 1 УДК 517.948 АСИМПТОТИКА РІШЕННЯ СИНГУЛЯРНО ПОРУШЕНИХ НЕЛІНІЙНИХ ІНТЕГРОДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЕНЬ М'ЯК Да.

Лекція Моделювання систем з використанням Марківських випадкових процесів Основні поняття Марківських процесів Функція X(t) називається випадковою, якщо її значення за будь-якого аргументу t є випадковою

7 (), 9 Г. В. Бойкова знайдено рішення, яке представляє

ПРИРОДНІ ТА ТОЧНІ НАУКИ УДК 57977 ПРО КЕРУВАННЯ ЛІНІЙНИХ СИНГУЛЯРНО ОЗБОРЮВАНИХ СИСТЕМ З МАЛИМ ЗАПОЗДАННЯМ Канд фіз-мат наук доц КОПЕЙКІНА Т Б ГУСЕЙНОВА А З

Комп'ютерне моделювання. СМО. Лекція 2 1 Зміст Глава 2. Подання СМО марковським випадковим процесом... 1 I. Класифікація СМО по Кендал... 1 II. Марківський випадковий процес... 2 III. Марківські

48 Вісник РАУ Серія фізико-математичні та природничі науки, 1, 28, 48-59 УДК 68136 ОЦІНКА ХАРАКТЕРИСТИК НАДІЙНОСТІ СИСТЕМ ДИСТАНЦІЙНОГО НАВЧАННЯ ЧАСТИНА 2 ХВ Керобян, Н.К.

Основні поняття теорії різницевих схем. Приклади побудови схем різниці для початково-крайових завдань. Велика кількість завдань фізики і техніки призводить до крайових або початкових завдань для лінійних.

4 (0) 00 Байєсовський аналіз коли оцінюваний параметр є випадковим нормальним процесом Розглянуто завдання байєсовського оцінювання послідовності невідомих середніх значень q q... q...

РОСІЙСЬКИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ МИРЕА ДОДАТКОВІ ГЛАВИ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ РОЗДІЛ 3. СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЕНЬ Робота присвячена моделюванню динамічних систем з використанням елементів

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ З ПОСТОЯННИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ Приведення до одного рівняння -го порядку З практичної точки зору дуже важливі лінійні системи з постійними коефіцієнтами

1 Назва документа Овсянніков А.В. СТАТИСТИЧНІ НЕРАВЕНСТВА У СВЕРХРЕГУЛЯРНИХ СТАТИСТИЧНИХ ЕКСПЕРИМЕНТАХ ТЕОРІЇ ОЦІНЮВАННЯ // Вест національної академії наук Білорусь, 009. Сер фз-мат. наук. С.106-110

УДК 59 ЕВ Новицька АФ Терпугів ВИЗНАЧЕННЯ ОПТИМАЛЬНОГО ОБСЯГУ ПАРТІЇ ТОВАРУ ТА РОЗДРІБНОЇ ЦІНИ ПРОДАЖУ ПРОДУКЦІЇ, ЩО НЕПРЕРИВНО ПОРТЯТЬСЯ Розглядається завдання визначення оптимального обсягу партії товару

Московський державний технічний університет імені НЕ Баумана Факультет «Фундаментальні науки» Кафедра «Математичне моделювання» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî

Math-Net.Ru Загальноросійський математичний портал А. А. Назаров, Т. В. Любіна, Немарківська динамічна RQ-система з вхідним MMP-потоком заявок, Автомат. та телемех., 213, випуск 7, 89 11 Використання

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ КРАСНОЯРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УДК ББК Укладач: Н.А. Пінкіна КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ Лінійна алгебра. Рішення типових прикладів. Варіанти контрольних

Лекція 2 Розв'язання систем лінійних рівнянь. 1. Вирішення систем 3-х лінійних рівнянь методом Крамера. Визначення. Системою 3-х лінійних рівнянь називається система виду У цій системі шукані величини,

« Звільнення керівника підприємства з будь-якою організаційною формою за власним бажанням регламентовано Трудовим Кодексом та базується на... »

Продовольчі професії Які професії пов'язані з їжею

« «Не кочегари ми, не теслярі, але жалю гірких немає…» Жалів із цього приводу, і справді, мало. Небагато часу минуло відтоді, як у нашій... »

Класифікація скляного посуду

« В арсеналі кожної господині можна знайти посуд усіх видів, сортів та призначень. Одним із найважливіших факторів при виборі будь-якого посуду є... »